科数网-幂函数与二次函数基础

单选题

如图是幂函数 $y=x^n$ 的部分图像，已知 $n$ 取 $\frac{1}{2} 、 2 、-2 、-\frac{1}{2}$ 这四个值，则于曲线 $C_1, C_2, C_3, C_4$ 相对应的 $n$ 依次为

$\text{A.}$ $2, \frac{1}{2},-\frac{1}{2},-2$ $\text{B.}$ $-2,-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 2$ $\text{C.}$ $-\frac{1}{2},-2,2, \frac{1}{2}$ $\text{D.}$ $2, \frac{1}{2},-2,-\frac{1}{2}$

函数 $y=x^{\frac{1}{3}}$ 的图象是

$\text{A.}$

$\text{B.}$

$\text{C.}$

$\text{D.}$

函数 $\mathrm{y}=x^{\frac{3}{5}}$ 在 $[-1,1]$ 上是

$\text{A.}$ 增函数且是奇函数 $\text{B.}$ 增函数且是偶函数 $\text{C.}$ 减函数且是奇函数 $\text{D.}$ 减函数且是偶函数

若幂函数 $f(x)=\left(m^2-2 m-2\right) x^{m^2-4 m+1}$ 在区间 $(0,+\infty)$ 上单调递增，则 $m=$

$\text{A.}$ -1 $\text{B.}$ 3 $\text{C.}$ -1 或 3 $\text{D.}$ 1 或 -3

设 $a=\left(\frac{3}{5}\right)^{\frac{2}{5}}, b=\left(\frac{2}{5}\right)^{\frac{3}{5}}, c=\left(\frac{2}{5}\right)^{\frac{2}{5}}$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系是（）

$\text{A.}$ $a>c>b$ $\text{B.}$ $a>b>c$ $\text{C.}$ $c>a>b$ $\text{D.}$ $b>c>a$

设 $a=\left(\frac{3}{4}\right)^{\frac{1}{2}}, b=\left(\frac{4}{3}\right)^{\frac{1}{4}}, c=\left(\frac{2}{3}\right)^{\frac{3}{4}}$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系是

$\text{A.}$ $c < a < b$ $\text{B.}$ $c < b < a$ $\text{C.}$ $a < c < b$ $\text{D.}$ $b < c < a$

已知 $x, y \in \mathbf{R}$, 满足 $(x-1)^{2023}+x=\frac{5}{2},(2 y+1)^{2023}+2 y=-\frac{5}{2}$ ，则 $x+2 y=$

$\text{A.}$ -1 $\text{B.}$ 0 $\text{C.}$ 1 $\text{D.}$ 2

设函数 $f(x)=2^{x(x-a)}$ 在区间 $(0,1)$ 上单调递减，则 $a$ 的取值范围是

$\text{A.}$ $(-\infty,-2]$ $\text{B.}$ $[-2,0)$ $\text{C.}$ $(0,2]$ $\text{D.}$ $[2,+\infty)$

对任意的 $x \in(1,4)$ ，不等式 $a x^2-2 x+2>0$ 都成立，则实数 $a$ 的取值范围是

$\text{A.}$ $[1,+\infty)$ $\text{B.}$ $\left(\frac{1}{2}, 1\right)$ $\text{C.}$ $\left[\frac{1}{2},+\infty\right)$ $\text{D.}$ $\left(\frac{1}{2},+\infty\right)$

（山东•高考真题）设函数 $f(x)=\frac{1}{x}, g(x)=a x^2+b x(a, b \in R, a \neq 0)$ ，若 $y=f(x)$ 的图象与 $y=g(x)$ 图象有且仅有两个不同的公共点 $A\left(x_1, y_1\right), B\left(x_2, y_2\right)$ ，则下列判断正确的是

$\text{A.}$ 当 $a < 0$ 时，$x_1+x_2 < 0, y_1+y_2>0$ $\text{B.}$ 当 $a < 0$ 时，$x_1+x_2>0, y_1+y_2 < 0$ $\text{C.}$ 当 $a>0$ 时，$x_1+x_2 < 0, y_1+y_2 < 0$ $\text{D.}$ 当 $a>0$ 时，$x_1+x_2>0, y_1+y_2>0$

多选题

已知幂函数 $f(x)=x^{\frac{n}{m}}\left(m, n \in \mathbf{N}^*, m, n\right.$ 互质），下列关于 $f(x)$ 的结论正确的是

$\text{A.}$ $m, n$ 是奇数时，幂函数 $f(x)$ 是奇函数 $\text{B.}$ $m$ 是偶数，$n$ 是奇数时，幂函数 $f(x)$ 是偶函数 $\text{C.}$ $m$ 是奇数，$n$ 是偶数时，幂函数 $f(x)$ 是偶函数 $\text{D.}$ $0 < \frac{m}{n} < 1$ 时，幂函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上是减函数

填空题

已知函数 $f(x)=\left(m^2-m-1\right) x^{m^2-2 m-2}$ 是幂函数，且为偶函数，则实数 $m=$

（上海．高考真题）若 $f(x)=x^{\frac{2}{3}}-x^{\frac{1}{2}}$ ，则满足 $f(x) < 0$ 的 $x$ 取值范围是

解答题

已知幂函数 $f(x)=x^{m^2-2 m-3}$（ $m$ 为正整数）的图像关于 $y$ 轴对称，且在 $(0,+\infty)$ 上是严格减函数，求满足 $(a+1)^{-\frac{m}{3}}>(3-2 a)^{-\frac{m}{3}}$ 的实数 $a$ 的取值范围．