科数网-一元导数微分学
单选题
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{2}{3} x^3, & x \leqslant 1, \\ x^2, & x>1,\end{array}\right.$ 则 $f(x)$ 在 $x=1$ 处的
$\text{A.}$ 左、右导数都存在。
$\text{B.}$ 左导数存在但右导数不存在．
$\text{C.}$ 左导数不存在但右导数存在．
$\text{D.}$ 左、右导数都不存在．
设 $f(0)=0$ ，则 $f(x)$ 在点 $x=0$ 处可导的充要条件是（ ）．
$\text{A.}$ $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{1}{h^2} f(1-\cos h)$ 存在
$\text{B.}$ $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{1}{h} f\left(1-\mathrm{e}^{-h}\right)$ 存在
$\text{C.}$ $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{1}{h^2} f(h-\sin h)$ 存在
$\text{D.}$ $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{1}{h}[f(2 h)-f(h)]$ 存在
设函数 $f(x)$ 在 $(-1,1)$ 上有定义，且 $\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=0$ ，则
$\text{A.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{\sqrt{|x|}}=0$ 时，$f(x)$ 在 $x=0$ 处可导．
$\text{B.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^2}=0$ 时，$f(x)$ 在 $x=0$ 处可导。
$\text{C.}$ 当 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导时， $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{\sqrt{|x|}}=0$ ．
$\text{D.}$ 当 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导时， $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^2}=0$ ．
填空题
设 $\alpha, \beta$ 为非零常数，$f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导，则 $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f\left(x_0+\alpha h\right)-f\left(x_0-\beta h\right)}{h}=$
$\_\_\_\_$。
设函数 $f(x)=\left(\mathrm{e}^x-1\right)\left(\mathrm{e}^{2 x}-2\right) \cdots\left(\mathrm{e}^{n x}-n\right)$ ，其中 $n$ 为正整数，则 $f^{\prime}(0)=$
设函数 $f(x)$ 在点 $x=1$ 处连续，且 $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{f(x)-3}{\ln x}=2$ ，则曲线 $y=f(x)$ 在点 $x=1$处的切线方程为
设 $\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{t^2+1}, \\ y=\ln \left(t+\sqrt{t^2+1}\right),\end{array}\right.$ 则 $\left.\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}\right|_{t=1}=$
解答题
已知函数 $f(x)$ 在 $x=1$ 处可导，且 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f\left(\mathrm{e}^{x^2}\right)-3 f\left(1+\sin ^2 x\right)}{x^2}=2$ ，求 $f^{\prime}(1)$
已知 $f(x)=\mathrm{e}^{\sin x}+\mathrm{e}^{-\sin x}$ ，则 $f^{\prime \prime \prime}(2 \pi)=$
设 $y=y(x)$ 由方程 $x \sin y-\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^y=0$ 确定．
（I）求 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}, \mathrm{~d} y$ ；
（II）求当 $x=0$ 时，对应曲线 $y=y(x)$ 上点的切线方程；