复数与复变函数单元训练

单选题

$\operatorname{Re}(\mathrm{i} z)=$（）．

$\text{A.}$ $-\operatorname{Re}(\mathrm{i} z)$ $\text{B.}$ $-\operatorname{Im} z$ $\text{C.}$ $\operatorname{Im} z$ $\text{D.}$ $\operatorname{Im}(\mathrm{i} z)$

设 $z=-3+4 \mathrm{i}$ ，则 $z$ 的主辐角是 () 。

$\text{A.}$ $\arctan \frac{4}{3}+\pi$ $\text{B.}$ $-\arctan \frac{4}{3}+\pi$ $\text{C.}$ $\arctan \frac{4}{3}-\pi$ $\text{D.}$ $\arctan \frac{4}{3}$

$\sqrt[4]{\mathrm{i}}=(\quad)$.

$\text{A.}$ $\cos \frac{\frac{\pi}{2}+2 k \pi}{4}+\mathrm{i} \sin \frac{\frac{\pi}{2}+2 k \pi}{4}(k=0,1,2,3)$ $\text{B.}$ $\sin \frac{\frac{\pi}{2}+2 k \pi}{4}+\mathrm{i} \cos \frac{\frac{\pi}{2}+2 k \pi}{4}(k=0,1,2,3)$ $\text{C.}$ $\cos \frac{\pi}{8}+\mathrm{i} \sin \frac{\pi}{8}$ $\text{D.}$ $\cos \frac{\frac{\pi}{2}+k \pi}{4}+\mathrm{i} \sin \frac{\frac{\pi}{2}+k \pi}{4}(k=0,1,2,3)$

填空题

计算下列复数的辐角．
（1）$z=2-2 \mathrm{i}$
（2）$z=-4-3 \mathrm{i}$

将复数 $z=-1+\sqrt{3} \mathrm{i}$ 化为三角形式和指数形式．

设 $z=\frac{2+\mathrm{i}}{\mathrm{i}}-\frac{2 \mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}$ ，求 $\operatorname{Re} z, \operatorname{Im} z, z \cdot \bar{z}$ ．

设复数 $z$ 满足 $z \bar{z}-3 \mathrm{i} \bar{z}=1+3 \mathrm{i}$ ，求复数 $z$ ．

求 $(1+\mathrm{i})^4$ ．

解答题

求 $(1+\mathrm{i})^{\frac{1}{4}}$ ．

解方程 $z^6+1=0$ ．

计算 $\sqrt[3]{-8}$ ．

用复数形式的参数方程表示下列曲线．
（1）连接 $z=i$ 到 $z=2+2 i$ 的直线段；
（2）圆心为 $z_0=1+2 i$ ，半径为 3 的圆周．