2019-2020大连理工大学《高等数学》第一学期期末试卷与答案
单选题
$\lim _{x \rightarrow 0}(1+\sin 3 x)^{\frac{1}{x}}= $
$\text{A.}$ e
$\text{B.}$ $\mathrm{e}^{\frac{1}{3}}$
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ $\mathrm{e}^3$
$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1^5+2^5+\cdots+n^5}{n^6}=$
$\text{A.}$ 0 ．
$\text{B.}$ $\frac{1}{6}$ ．
$\text{C.}$ $\frac{1}{5}$ ．
$\text{D.}$ $+\infty$
设 $f(x)=x e^{-x}$ ，则 $f^{(2019)}(0)= $ ．
$\text{A.}$ 2019 ．
$\text{B.}$ $\frac{1}{2019}$ ．
$\text{C.}$ 0 ．
$\text{D.}$ 1
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1-\cos x}{x}, & x < 0 \\ 0, & x=0 \\ \frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x}, & x>0\end{array}\right.$ 则在点 $x=0$ 处
$\text{A.}$ $f^{\prime}(0)=\frac{1}{2}$ ．
$\text{B.}$ $f^{\prime}(0)=-\frac{1}{2}$ ．
$\text{C.}$ $f(x)$ 不可导．
$\text{D.}$ 不连续
设 $\left\{\begin{array}{l}x=\tan t \\ y=\sec t\end{array}\left(0 < t < \frac{\pi}{2}\right)\right.$ ，则 $\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}=$
$\text{A.}$ $\cos t$ ．
$\text{B.}$ $\cos ^2 t$ ．
$\text{C.}$ $\cos ^4 t$ ．
$\text{D.}$ $\cos ^3 t$ ．
定积分 $\int_0^{2 \pi} \sin ^4 x \cdot \cos ^2 x \mathrm{~d} x=$
$\text{A.}$ $\frac{\pi}{32}$ ．
$\text{B.}$ $\frac{\pi}{16}$ ．
$\text{C.}$ $\frac{\pi}{64}$ ．
$\text{D.}$ $\frac{\pi}{8}$ ．
以下三个反常积分中，发散的是
$\text{A.}$ $\int_1^{+\infty} \frac{\ln x}{x^2} \mathrm{~d} x$ ．
$\text{B.}$ $\int_{-\infty}^{+\infty} x \mathrm{~d} x$ ．
$\text{C.}$ $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \mathrm{~d} x$ ．
$\text{D.}$ $ \int_1^{+\infty}\frac{1}{x^2}dx$
方程 $x^5+x-1=0$ ．
$\text{A.}$ 只有一个实根．
$\text{B.}$ 只有三个实根．
$\text{C.}$ 只有三个实根．
$\text{D.}$ 有五个实根．
函数 $f(x)$ 满足 $f(0)=0, f^{\prime}(0)>0$ ，则 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} x^{f(x)}=$
$\text{A.}$ $\quad 0$ ．
$\text{B.}$ 1 ．
$\text{C.}$ 2 ．
$\text{D.}$ 不存在．
$\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0$ ，当时恒有 $x_0 < \delta, \quad|f(x)-a| < \varepsilon$ ，则
$\text{A.}$ $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=a$ ．
$\text{B.}$ $\lim _{x \rightarrow x_0^{+}} f(x)=a$ ．
$\text{C.}$ $\lim _{x \rightarrow x_0^{-}} f(x)=a$ ．
$\text{D.}$ $f(x)$ 在 $x_0$ 点处连续．
设存在常数 $L>0$ ，使得 $\left|f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)\right| \leq L\left|x_2-x_1\right|^2\left(\forall x_1, x_2 \in(a, b)\right)$ ，则
$\text{A.}$ $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内有间断点．
$\text{B.}$ $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内连续，但有不可导点．
$\text{C.}$ $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内可导，$f^{\prime}(x) \neq 0$ ．
$\text{D.}$ $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内可导，$f^{\prime}(x) \equiv 0$ ．
方程 $y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=1+e^x \cos 2 x$ ，则其特解形式为
$\text{A.}$ $y=b+e^x A \cos 2 x$ ．
$\text{B.}$ $y=b+e^x\left(\left(a_0 x+a_1\right) \cos 2 x+\left(c_0 x+c_1\right) \sin 2 x\right)$ ．
$\text{C.}$ $y=b+x e^x(A \cos 2 x+B \sin 2 x)$ ．
$\text{D.}$ $y=b+e^x(A \cos 2 x+B \sin 2 x)$ ．
解答题
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^2-x \ln (1+x)}{\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1+\sin x}}$ ．
求微分方程 $y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=-2 x e^x$ 的通解．
（工数）求解微分方程初值问题 $\left\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}-x y=x^3 \\ y(0)=-1\end{array}\right.$ ．
设函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 连续，1、证明 $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x=\int_a^b f(a+b-x) \mathrm{d} x$ ；
2、求 $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sin ^2 x}{x(\pi-2 x)} \mathrm{d} x$ ．
已知摆线：$x=a(t-\sin t), y=a(1-\cos t)(0 \leq t \leq 2 \pi)$ ，常数 $a>0$ ．
求：1、摆线的弧长；2、摆线和 $x$ 轴围成图形的面积．
设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上二阶可导，$f^{\prime}(x)>0, f^{\prime \prime}(x)>0$ ，又 $a < b$且 $f(a)=0$ ，若曲线 $y=f(x)$ 在点 $(b, f(b))$ 处的切线与 $x$ 轴相交于 $\left(x_0, 0\right)$ 点，证明 $a < x_0 < b$.