设 $f(x) = \begin{cases}
1, & x > 0, \\
0, & x \leq 0,
\end{cases} \quad g(x) = \begin{cases}
1 - x, & x < 1, \\
x-1, & x \ge 1,
\end{cases}$ 则复合函数 $f[g(x)]$ 的间断点为 $x = $.

极限 $$\lim\limits_{x \to 1^-} (1 - x)^3 \sum\limits_{n = 1}^{\infty} n^2 x^n = $$

求极限 $\lim\limits_{x \to 0} \frac{1 - \sqrt{1 - x^2} \cos x}{1 + x^2 - \cos^2 x} = $

微分方程 $$\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} x \ln x \cdot \sin y + \cos y (1 - x \cos y) = 0$$ 的通解为

记 $D = \left\{ (x, y) \left| 0 \leq x + y \leq \dfrac{\pi}{2}, 0 \leq x - y \leq \dfrac{\pi}{2} \right. \right\}$, 则 $$\iint\limits_D y \sin(x + y) dxdy = $$

设向量 $\overrightarrow{OA}$ 与 $\overrightarrow{OB}$ 的夹角为 $\alpha$, $|\overrightarrow{OA}| = 1$, $|\overrightarrow{OB}| = 2$, $\overrightarrow{OP} = (1 - \lambda) \overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OQ} = \lambda \overrightarrow{OB}$, 其中 $0 \leq \lambda \leq 1$.

（1）问当 $\lambda$ 为何值时, $|\overrightarrow{PQ}|$ 取得最小值;
（2）设 (1) 中的 $\lambda$ 满足 $0 < \lambda < \dfrac{1}{5}$, 求夹角 $\alpha$ 的取值范围.

设函数 $f(x)$ 在 $(-1, 1)$ 上二阶可导, $f(0) = 1$, 且当 $x \geq 0$ 时, $f(x) \geq 0$, $f'(x) \leq 0$, $f''(x) \leq f(x)$. 证明: $f'(0) \geq -\sqrt{2}$.