解析函数的洛朗展开与奇点性质
填空题
函数 $f(z)=\frac{1}{1-z} e ^z$ 在环域 $0 < |z-1| < +\infty$ 的洛朗展式为
函数 $f(z)=\frac{ e ^{ i / z}}{\left(z^2+a^2\right)^2}$ 在 $z=a i$ 处的留数为 $\qquad$ ．（其中 $a, b$ 为实常数）
函数 $f(z)=\frac{ e ^z-1}{z^5}$ 在 $z=0$ 处的留数为
函数 $f(z)=\frac{z-5}{2 z+3}$ 在无穷远点处的留数为
解答题
将函数 $f(z)=\frac{z^2+1}{z^2-3 z^2+2 z}$ 在下列不同环域内展为洛朗级数：
（1） $0 < |z| < 1$ ；
（2） $1 < |z| < 2$ ；
（3） $2 < |z| < +\infty$ ．
$\int_{C:|z|=\frac{1}{3}} \sin \frac{2}{z} d z$
$\int_{C:|z|=2} \frac{ e ^{\sin z}}{z^2\left(z^2+1\right)} d z$ ；
用留数计算实数积分 $\int_0^{2 \pi} \frac{d \theta}{a+\sin \theta}$
用留数计算实数积分 $ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{a+\sin ^2 x} d x \quad(a>0) \text {; }$
用留数计算实数积分 $ I=\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{x^2}{x^4+x^2+1} d x $
用留数计算$I_1=\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{i x}}{x^2+a^2} d x \quad(a>0)$
用儒歇（Rouché）定理判断 方程 $z^7+6 z^6-z^3+2=0$ 在 $|z| < 1$ 内有 $\qquad$个根
单选题
复积分 $\int_{C:|z|=1} \frac{z \sin z}{\left(1- e ^z\right)^3} d z$ 的值为（ ）
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ -1
$\text{C.}$ 0
$\text{D.}$ 2