《高等数学下A》期末考试模拟试卷与答案
填空题
已知动点 $M(x, y, z)$ 到 $x o y$ 面的距离与到点 $(2,1,1)$ 距离相等，则该动点的轨迹方程为
已知直线 $\frac{x+1}{-2}=\frac{y+4}{-7}=\frac{z-1}{3}$ 与平面 $m x-2 y-2 z=3$ 平行，则 $m=$
设 $f_x^{\prime}(0,2)=-2$ ，则 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(-x, 2)-f(0,2)}{2 x}=$
极限 $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,2)} \frac{1-\cos \left(x^2 y\right)}{2 \sin \left(x^4 y^3\right)}=$
设 $z=f\left(x y, \frac{x}{y}\right), f$ 具有一阶连续偏导数，则 $\frac{\partial z}{\partial x}=$
曲面 $z=3 x^2+2 y^2-2$ 在点 $(1,1,3)$ 处的法线方程是
交换积分次序：
$$
\int_{\frac{1}{2}}^1 d y \int_{\frac{1}{y}}^2 f(x, y) d x+\int_1^2 d y \int_y^2 f(x, y) d x=
$$
设 $L$ 是圆周 $x^2+y^2=4$ ，则曲线积分 $\oint_L\left(x^2+y^2\right)^2 d s=$
已知 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n=a$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n+a_{n+1}\right)=$
解答题
求过点 $(1,2,1)$ 且与两直线 $\frac{x-1}{3}=\frac{y+2}{-2}=\frac{z-3}{-3}$ 和 $\left\{\begin{array}{l}x-y+2 z=3 \\ x+2 y-2 z=1\end{array}\right.$ 平行的平面方程。
计算 $\iint_D(x+y) d x d y$ ，其中 $D$ 是由抛物线 $y^2=x$ 及直线 $y=-x+2$ 所围成的闭区域。
设 $L$ 为曲线 $x y=1$ 上从点 $(1,1)$ 到点 $\left(2, \frac{1}{2}\right)$ 的一段弧，求曲线积分 $\int_L x^5 y^2 d x+x^4 y d y$ ．
计算 $\iiint_{\Omega} x^2 d x d y d z$ ，其中 $\Omega$ 是由曲面 $z=x^2+y^2$ 及平面 $z=4$ 所围成的闭区域．
计算 $\iint_{\Sigma} x y d y d z+x z d x d y$ ，其中 $\Sigma$ 是平面 $2 x+2 y+z=2$ 位于第一卦限的部分的下侧．
求幂级数 $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{2 n+1}}{n}$ 的收敛域及和函数．
在半径为 $a$ 的半球内求一个体积最大的内接长方体，并求出该长方体的体积．
证明题
设级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 绝对收敛，证明：级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \ln \left(1+a_n^2\right)$ 收敛．