线性代数二次型基础训练
单选题
设 $A =\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$ ，则下列矩阵中与 $A$ 合同的是 $(\quad)$ ．
$\text{A.}$ $\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$
$\text{B.}$ $\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right]$
$\text{C.}$ $\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right]$
$\text{D.}$ $\left[\begin{array}{ccc}-1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right]$
解答题
写出三元二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=2 x_1^2+2 x_2^2+2 x_3^2-2 x_1 x_2-2 x_2 x_3+2 x_1 x_3$ 的二次型矩阵 $A$ ．
化二次型
$$
f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+2 x_1 x_2+2 x_1 x_3-x_2^2-2 x_2 x_3-x_3^2
$$
为标准形，并写出所作的可逆线性变换．
将二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1 x_2+x_1 x_3-x_2 x_3$ 化为规范形，并求所用的可逆线性变换．
用正交变换化二次型
$$
f\left(x_1, x_2, x_3\right)=2 x_1^2+5 x_2^2+5 x_3^2+4 x_1 x_2-4 x_1 x_3-8 x_2 x_3
$$
为标准形，并求所作的正交变换．
判别二次型
$$
f\left(x_1, x_2, x_3\right)=2 x_1^2+2 x_2^2+2 x_3^2+2 x_1 x_2+2 x_1 x_3+2 x_2 x_3
$$
的正定性．
已知 $A =\left[\begin{array}{ccc}k & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & k+2\end{array}\right]$ 正定，则 $k$ 应满足条件