广西省柳州市2023届新高三摸底考试（文科数学）-中考/高考/考研数学试题

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试题类型		选择题选项
试题分值		所属年份
试题来源		难度等级
省份		年级
试题分类	空间几何体 (x) 确定
试题题目	在正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中, 点 $E$ 为线段 $B_{1} D_{1}$ 上的动点, 现有下面四个命题: (1)直线 $D E$ 与直线 $A C$ 所成角为定值; (2) 点 $E$ 到直线 $A B$ 的距离为定值; (3)三棱雉 $E-A_{1} B D$ 的体积为定值; (4)三棱雉 $E-A_{1} B D$ 外接球的体积为定值. 其中所有真命题的序号是提示：对于填空题，请使用预留的 " \kh " （括号的拼音,两侧有空格）来表示填写的内容，例如" 3+2= \kh "，请勿直接使用“_”（下划线），因为在Latex里下划线有特殊的含义。公式内可使用 $\_\_$ ，如 " $3+2=\_\_$ "
问题选项
参考答案	(1)(3)
试题解析	【分析】由线面垂直的性质定理得线线垂直判断(1), 由正方体的性质, 可通过 $E$ 到 $A_{1} B_{1}$ 的距离来计算 $E$ 到 $A B$ 的距离, 从而判断(2), 根据棱雉体积公式, 判断(3), 想象 $E$ 在不同位置时外接球的半径的变化, 判断 (4). 【详解】易证 $A C \perp$ 平面 $B B_{1} D_{1} D, D E \subset$ 平面 $B B_{1} D_{1} D$, 所以恒有 $A C \perp D E$, 直线 $D E$ 与直线 $A C$ 所成角为 $90^{\circ}$, 所以(1)是真命题. 点 $E$ 到直线 $A B$ 的距离与点 $E$ 到直线 $A_{1} B_{1}$ 的距离有关, 所以(2)是假命题. 因为 $B_{1} D_{1} / / B D$, 由线面平行的判定定理可得 $B_{1} D_{1} / /$ 平面 $A_{1} B D$, 故点 $E$ 到平面 $A_{1} B D$ 的距离 $d$ 为定值, 则 $V_{E-A_{1} B D}=\frac{1}{3} d \cdot S_{\triangle A_{1} B D}$ 为定值, 所以(3)是真命题. $B_{1} D_{1} / /$ 平面 $A_{1} B D, E$ 在 $B_{1} D_{1}$ 上变化, 例如点 $E$ 在 $D_{1}$ 处和在 $B_{1} D_{1}$ 的中点处时, 三棱雉 $E-A_{1} B D$ 的外接球半径不同, 故其外接球的体积不是定值, 所以(4)是假命题. 故答案为: (1)(3) [img=/uploads/2022/48e125.jpg][/img]
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