解答题 （共 14 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求极限: $\lim _{n \rightarrow \infty} \cos \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2^2} \cdots \cos \frac{x}{2^n}$
计算极限: $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\sin \frac{1}{n^2}+\sin \frac{3}{n^2}+\cdots+\sin \frac{2 n-1}{n^2}\right)$.
求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\sin \frac{1}{x}+\cos \frac{1}{x}\right)^x$解
求极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty}\left[\sqrt{4 x^2+x} \ln \left(2+\frac{1}{x}\right)-2 x \ln 2\right]$
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1+x)^{\frac{1}{x}}-(1+2 x)^{\frac{1}{2 x}}}{x}$
求极限$ \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n^3}+\frac{1+2}{n^3}+\cdots+\frac{1+2+\cdots+n}{n^3}\right)$
求极限: $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{1^2+2^2+\cdots+k^2}$
求极限: $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{2^3-1}{2^3+1} \cdot \frac{3^3-1}{3^3+1} \cdots \frac{n^3-1}{n^3+1}$
求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} 2^n \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots \sqrt{2}}}}$
计算 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \sin 3 x}{\ln \sin 2 x}$
证明 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a}=1$ ( $a>0$ 为常数).
求极限: $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n+n^{\frac{1}{2}}+\cdots+n^{\frac{1}{n}}}{n}$
求极限: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin \left(x^2 \sin \frac{1}{x}\right)}{x}$
求极限$\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{(1+\sin x)^{\frac{\ln x}{x}}}{x^2 \ln x} $