填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设向量 $\vec{a}=(3,1,-2), \vec{b}=(1,-2,0)$, 则 $\vec{a} \times \vec{b}=$
$\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{\arctan \left(x^3+y^3\right)}{x^2+y^2}=$
微分方程 $y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+4 y=\mathrm{e}^{-2 x}$ 的通解为
已知 $f(x, y)=x+(y-1) \sin \sqrt{\frac{x}{y}}$, 则 $f_x(x, 1)=$
二重积分 $\iint_{x^2+y^2 \leq 1} \sqrt{1-x^2-y^2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=$
解答题 （共 8 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设三个向量分别为 $\vec{a}=(2,-2,1), \vec{b}=(1,-1,3), \vec{c}=(1,-2,0)$, 求 $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}$.
设 $z=f\left(x^2+y^2, \cos (x y)\right), f$ 具有二阶连续偏导数, 求 $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}, \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$
设函数 $u=f(x y, g(x))$, 其中 $f$ 具有二阶连续偏导数, $g(x)$ 可导且在 $x=1$ 处取到极值
$$
g(1)=1 \text {, 求 }\left.\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}\right|_{(1.1)}
$$
已知函数 $z=z(x, y)$ 由方程 $x y=e^{x z}-2 z$ 确定, 求 $\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}$.
求通过直线 $L_1: \frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{0}=\frac{z-3}{-1}$ 且与直线 $L_2: \frac{x+2}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z}{1}$ 平行的平面方程.
求曲面 $x^2+2 y^2+3 z^2=21$ 上平行于平面 $x+4 y+6 z=1$ 的切平面方程.
设区域 $D=\left\{(x, y) \mid 1 \leq x^2+y^2 \leq 3, x \geq 0\right\}$, 计算二重积分 $I=\iint_D \ln \left(1+x^2+y^2\right) \mathrm{d} \sigma$.
求曲线 $\left\{\begin{array}{l}x^2+2 y^2+z^2=1, \\ x+2 y=1,\end{array}\right.$ 上到坐标原点距离最近的点.