上海理工大学第二学期高等数学B(2)期中考试试题及答案

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上海理工大学第二学期高等数学B(2)期中考试试题及答案

一、填空题（共 6 题），请把答案直接填写在答题纸上

1. 与平面

x - 2 y + z = 3

垂直的单位向量是

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2. 设向量

\vec{a} = (3, 1, - 2), \vec{b} = (1, - 2, 0)

, 则

\vec{a} \times \vec{b} =

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lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{\arctan (x^{3} + y^{3})}{x^{2} + y^{2}} =

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4. 微分方程

y^{''} + 4 y^{'} + 4 y = e^{- 2 x}

的通解为

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5. 已知

f (x, y) = x + (y - 1) \sin \sqrt{\frac{x}{y}}

, 则

f_{x} (x, 1) =

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6. 二重积分

\iint_{x^{2} + y^{2} \leq 1} \sqrt{1 - x^{2} - y^{2}} d x d y =

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二、解答题（共 8 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

7. 设三个向量分别为

\vec{a} = (2, - 2, 1), \vec{b} = (1, - 1, 3), \vec{c} = (1, - 2, 0)

, 求

(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}

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8. 设

z = f (x^{2} + y^{2}, \cos (x y)), f

具有二阶连续偏导数, 求

\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}, \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}

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9. 设函数

u = f (x y, g (x))

, 其中

f

具有二阶连续偏导数,

g (x)

可导且在

x = 1

处取到极值

g (1) = 1, 求 {\frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y} |}_{(1.1)}

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10. 已知函数

z = z (x, y)

由方程

x y = e^{x z} - 2 z

确定, 求

\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}

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11. 求通过直线

L_{1} : \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{0} = \frac{z - 3}{- 1}

且与直线

L_{2} : \frac{x + 2}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z}{1}

平行的平面方程.

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12. 求曲面

x^{2} + 2 y^{2} + 3 z^{2} = 21

上平行于平面

x + 4 y + 6 z = 1

的切平面方程.

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13. 设区域

D = {(x, y) ∣ 1 \leq x^{2} + y^{2} \leq 3, x \geq 0}

, 计算二重积分

I = \iint_{D} \ln (1 + x^{2} + y^{2}) d σ

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14. 求曲线

{\begin{cases} x^{2} + 2 y^{2} + z^{2} = 1, \\ x + 2 y = 1, \end{cases}

上到坐标原点距离最近的点.

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