单选题 （共 1 题 ），每题只有一个选项正确
设 $s(x)=\sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin n x$ ，其中 $b_n=\frac{1}{\pi} \int_0^\pi x^4 \sin n x \mathrm{~d} x$ ，则 $s(-2)=$ $\_\_\_\_$ ．
$\text{A.}$ 16
$\text{B.}$ -16
$\text{C.}$ 8
$\text{D.}$ -8
填空题 （共 3 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\sum_{n=1}^{\infty} a_n(x+1)^{2 n}$ 在 $[-3,4]$ 上收敛，该级数的可能最大的绝对收敛区间是
函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\mathrm{e}^x, & -1 \leq x < 0 \\ 1, & 0 \leq x \leq 1\end{array}\right.$ 的傅里叶级数的和函数 $s(x)$ 在点 $x=-4$ 处收敛于（）
在点 $x=5$ 处收敛于（）
要使级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} \ln \left(1+\frac{1}{n^{2 p}}\right)$ 收敛，则 $p$ 的范围是
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
判别级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \sqrt{n}\left(\mathrm{e}^{\frac{1}{n}}-1\right)$ 的敛散性．
判别级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \frac{n^n}{2^n n!}$ 的敛散性，若是收敛的说明是绝对收敛还是条件收敛．
将函数 $f(x)=\frac{1}{x^2-5 x+6}$ 展开为 $x$ 的幂级数，并指出展开式成立的区间．
将函数 $f(x)=1-x^2(0 \leq x \leq \pi)$ 展开成余弦级数，并求级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^2}$ 的和．
$f(x)$ 是周期为 $4 \pi$ 的偶函数，在 $[0,2 \pi]$ 上 $f(x)=2 \pi-x$ ．求该函数的傅里叶展开式．