单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
根据某机构对失踪飞机的调查得知：失踪的飞机中有 $70 \%$ 的后来被找到，在被找到的飞机中，有 $60 \%$ 安装有紧急定位传送器，而未被找到的失踪飞机中，有 $90 \%$ 未安装紧急定位传送器，紧急定位传送器是在飞机失事坠毁时发送信号，让搜救人员可以定位的装置．现有一架安装有紧急定位传送器的飞机失踪，则它被找到的概率为
$\text{A.}$ $\frac{14}{23}$
$\text{B.}$ $\frac{28}{55}$
$\text{C.}$ $\frac{14}{15}$
$\text{D.}$ $\frac{27}{55}$
2023年3月24日是第 28 个＂世界防治结核病日＂，我国的宣传主题是＂你我共同努力，终结结核流行＂，呼吁社会各界广泛参与，共同终结结核流行，维护人民群众的身体健康．已知某种传染疾病的患病率为 $5 \%$ 通过验血诊断该病的误诊率为 $2 \%$ ，即非患者中有 $2 \%$ 的人诊断为阳性，患者中有 $2 \%$ 的人诊断为阴性．随机抽取一人进行验血，则其诊断结果为阳性的概率为（ ）
$\text{A.}$ 0.46
$\text{B.}$ 0.046
$\text{C.}$ 0.68
$\text{D.}$ 0.068
已知颜色分别是红、绿、黄的三个大小相同的口袋，红色口袋内装有两个红球，一个绿球和一个黄球；绿色口袋内装有两个红球，一个黄球；黄色口袋内装有三个红球，两个绿球（球的大小质地相同）。若第一次先从红色口袋内随机抽取 1 个球，然后将取出的球放入与球同颜色的口袋内，第二次从该口袋内任取一个球，则第二次取到黄球的概率为
$\text{A.}$ $\frac{1}{6}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{4}$
$\text{C.}$ $\frac{5}{48}$
$\text{D.}$ $\frac{11}{48}$
设 $\mathrm{A}, B$ 是两个随机事件，且 A 发生 $B$ 必定发生， $0 < P(A) < 1,0 < P(B) < 1$ ，给出下列各式，其中正确的是（ ）
$\text{A.}$ $P(A+B)=P(A)$
$\text{B.}$ $P(A \mid B)=\frac{P(B)}{P(A)}$
$\text{C.}$ $P(A+B)=P(B)$
$\text{D.}$ $P(A B)=P(B)$
已知事件 $A 、 B$ 满足 $P(A \mid B)=0.7, P(\bar{A})=0.3$ ，则
$\text{A.}$ $P(A \mid B)=0.3$
$\text{B.}$ $P(B \mid A)=0.3$
$\text{C.}$ 事件 $A, B$ 相互独立
$\text{D.}$ 事件 $A, B$ 互斥
多选题 （共 3 题 ），每题有多个选项正确
红、黄、蓝被称为三原色，选取其中任意几种颜色调配，可以调配出其他颜色，已知同一种颜色混合颜色不变，等量的红色加黄色调配出橙色；等量的红色加蓝色调配出紫色；等量的黄色加蓝色调配出绿色．现有红、黄、蓝颜料各两瓶，甲从六瓶颜料中任取两瓶，乙再从余下四瓶颜料中任取两瓶，两人分别进行等量调配， A 表示事件＂甲调配出红色＂；$B$ 表示事件＂甲调配出绿色＂；$C$ 表示事件＂乙调配出紫色＂，则下列说法正确的是
$\text{A.}$ 事件 A 与事件 $C$ 是独立事件
$\text{B.}$ 事件 A 与事件 $B$ 是互斥事件
$\text{C.}$ $P(C \mid A)=0$
$\text{D.}$ $P(B)=P(C)$
某个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，设 $M=$＂该家庭中有男孩、又有女孩＂，$N=$＂该家庭中最多有一个女孩＂，则下列结论正确的是（）
$\text{A.}$ 若该家庭中有两个小孩，则 $M$ 与 $N$ 互斥
$\text{B.}$ 若该家庭中有两个小孩，则 $M$ 与 $N$ 不相互独立
$\text{C.}$ 若该家庭中有三个小孩，则 $M$ 与 $N$ 不互斥
$\text{D.}$ 若该家庭中有三个小孩，则 $M$ 与 $N$ 相互独立
已知 $A, B$ 为两个随机事件，且 $P(A)=0.4, P(B)=0.6$ ，则
$\text{A.}$ $P(A+B) < 1$
$\text{B.}$ 若 $A, B$ 为互斥事件，则 $P(A B)=0$
$\text{C.}$ 若 $P(A B)=0.24$ ，则 $A, B$ 为相互独立事件
$\text{D.}$ 若 $A, B$ 为相互独立事件，则 $P(\bar{A} \bar{B})=P(A B)$
填空题 （共 3 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
在排球比赛的小组循环赛中，每场比赛采用五局三胜制．甲、乙两队小组赛中相见，积分规则如下：以 $3: 0$ 或 $3: 1$ 获胜的球队积 3 分，落败的球队积 0 分；以 $3: 2$ 获胜的球队积 2 分，落败的球队积 1 分．若甲队每局比赛获胜的概率为 0.6 ，则在甲队本场比赛所得积分为 3 分的条件下，甲队前 2 局比赛都获胜的概率是 $\_\_\_\_$ ．（用分数表示）
现有甲、乙两个口袋，其中甲口袋内装有三个 1 号球，两个 2 号球和一个 3 号球；乙口袋内装有两个 1 号球，一个 2 号球，一个 3 号球．第一次从甲口袋中任取 1 个球，将取出的球放入乙口袋中，第二次从乙口袋中任取一个球，则第二次取到 2 号球的概率为
某企业的一批产品由一等品零件、二等品零件混装而成，每包产品均含有 10 个零件．小张到该企业采购，利用如下方法进行抽检：从该企业产品中随机抽取 1 包产品，再从该包产品中随机抽取 4 个零件，若抽取的零件都是一等品，则决定采购该企业产品；否则，拒绝采购．假设该企业这批产品中，每包产品均含 1个或 2 个二等品零件，其中含 2 个二等品零件的包数占 $10 \%$ ，则小张决定采购该企业产品的概率为
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
某学校为了迎接党的二十大召开，增进全体教职工对党史知识的了解，组织开展党史知识竞赛活动并以支部为单位参加比赛．现有两组党史题目放在甲、乙两个纸箱中，甲箱有 5 个选择题和 3 个填空题，乙箱中有 4个选择题和 3 个填空题，比赛中要求每个支部在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答。每个支部先抽取一题作答，答完后题目不放回纸箱中，再抽取第二题作答，两题答题结束后，再将这两个题目放回原纸箱中．
（1）如果第一支部从乙箱中抽取了 2 个题目，求第 2 题抽到的是填空题的概率；
（2）若第二支部从甲箱中抽取了 2 个题目，答题结束后错将题目放入了乙箱中，接着第三支部答题，第三支部抽取第一题时，从乙箱中抽取了题目．已知第三支部从乙箱中取出的这个题目是选择题，求第二支部从甲箱中取出的是 2 个选择题的概率．
人工智能是研究用于模拟和延伸人类智能的技术科学，被认为是 21 世纪最重要的尖端科技之一，其理论和技术正在日益成熟，应用领域也在不断扩大．人工智能背后的一个基本原理：首先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策．基于这一基本原理，我们可以设计如下试验模型；有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有 9 个红球和 1 个白球乙袋中有 2 个红球和 8 个白球．从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验．若多次试验直到摸出红球，则试验结束．假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为 $\frac{1}{2}$（先验概率）．
（1）求首次试验结束的概率；
（2）在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调整．
① 求选到的袋子为甲袋的概率，
② 将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案；方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球．请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大．
在一个抽奖游戏中，主持人从编号为 $1,2,3,4$ 的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭．主持人知道奖品在哪个箱子里．游戏规则是主持人请抽奖人在这四个箱子中选择一个，若奖品在此箱子里，则奖品由获奖人获得。现有抽奖人甲选择了 2 号箱，在打开 2 号箱之前，主持人先打开了另外三个箱子中的一个空箱子．按游戏规则，主持人将随机打开甲的选择之外的一个空箱子．
（1）计算主持人打开4号箱的概率；
（2）当主持人打开 4 号箱后，现在给抽奖人甲一次重新选择的机会，请问他是坚持选 2 号箱，还是改选 1 号或 3 号箱？（以获得奖品的概率最大为决策依据）
甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为 $\frac{1}{4}$ ，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为 $\frac{1}{12}$ ，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为 $\frac{2}{9}$ ．
（1）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；
（2）从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率．
某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记＂合格＂与＂不合格＂，两部分考核都是＂合格＂，则该课程考核＂合格＂，若甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为 $0.9,0.8,0.7$ ，在实验考核中合格的概率分别为 $0.8,0.7,0.9$ ，所有考核是否合格相互之间没有影响．
（1）求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率；
（2）求这三个人该课程考核都合格的概率（结果保留三位小数）．