计算行列式 $\left|\begin{array}{cccc}1 & 0 & -1 & 2 \\ 2 & 3 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & -3 & 4 \\ -2 & 4 & 5 & 3\end{array}\right|$
设 $A=\left(\begin{array}{ccc}2 & 1 & 0 \\ -2 & 1 & 3 \\ -1 & 0 & -2\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{cc}1 & -3 \\ 2 & 1 \\ 0 & -3\end{array}\right)$ ，满足 $A X-2 B=X$ ，求 X ．
（要求应用逆矩阵和矩阵乘法）
求下列向量组的秩及其一个极大无关组，并把其余向量用此极大无关组表示
$$
\begin{aligned}
& \alpha_1=(1,4,0,2), \quad \alpha_2=(2,7,1,3), \quad \alpha_3=(1,-1,2,0), \\
& \alpha_4=(3,10,2,4), \quad \alpha_5=(0,1,-1,1),
\end{aligned}
$$
设 $n$ 阶矩阵 A 满足 $A^3=0$ ，证明 I－A 可逆，并求其逆矩阵。
当 $a$ 为何值时，线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}a x_1+x_2+x_3=1 \\ x_1+a x_2+x_3=a \\ x_1+x_2+a x_3=a^2\end{array}\right.$ ，有无解？有唯一解？有无穷多解？当方程组有唯一解时求出其解，且在有无穷多解时用其导出组的基础解系表示出方程组的全部解。
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{lll}2 & 2 & 0 \\ 8 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 6\end{array}\right)$
（1）求矩阵 A 的特征值和特征向量；
（2）求正交矩阵 Q 使得 $Q^{-1} A Q$ 为对角矩阵。
设 A 是 $m \times n$ 矩阵， B 是 $n \times m$ 矩阵， I 是 n 阶单位矩阵 $( m > n )$ ，已知 $BA = I$ ，试判断 A的列向量组是否线性相关？为什么？
设线性方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
x_1+a_1 x_2+a_1^2 x_3=a_1^3 \\
x_1+a_2 x_2+a_2^2 x_3=a_2^3 \\
x_1+a_3 x_2+a_3^2 x_3=a_3^3 \\
x_1+a_4 x_2+a_4^2 x_3=a_4^3
\end{array}\right.
$$
（1）若 $a_1, a_2, a_3, a_4$ 两两不相等，则此线性方程组无解；
（2）设 $a_1=a_3=k, a_2=a_4=-k(k \neq 0)$ 且已知 $\beta_1=(-1,1,1)^T, \beta_2=(1,1,-1)^T$ 为方程组的两个解，写出此方程组的通解