解答题 （共 11 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\sin \frac{1}{n}\right)^{\sqrt{n^2+1}}$
求极限： $ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \left(1+x+x^2\right)-x}{ e ^{\cos x}- e } $
计算反常积分 $\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^2 \sqrt{1+x^2}} d x$ ．
设函数 $y=y(x)$ 有方程 $x y^2+\sin \frac{\pi}{2}=y e^x$ 所确定，求 $y^{\prime}(0)$ ．
（1）求齐次线性微分方程 $y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime}=0$ 的通解；
（2）给出非齐次线性微分方程 $y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime}=x e ^x+\sin x$ 的特解形式。
函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^2 \sin \frac{1}{x} & , x < 0 \\ a x+b & , x \geq 0\end{array}\right.$ 可导，其中 $a, b$ 为常数，求 $a^2+b^2$ ．
考虑参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=\sin t \\ y=t \cos t\end{array}\right.$ ，求 $\left.\frac{ d ^2 y}{d x^2}\right|_{t=0}$ ．
设函数 $f(x)=x^3+a x^2+b x+2$ 在 $x=1$ 和 $x=2$ 处取得极值．
（1）试确定 $a$ 与 $b$ 的值；
（2）求出函数的拐点；
（3）证明 $f(2)$ 是极小值。
设 $f(x)=\int_{x^2}^1 e^{-t^2} d t$ ，计算定积分 $\int_0^1 x f(x) d x$ ．
已知曲线 $y=\int_0^x \sqrt{\sin t} d t(0 \leq x \leq \pi)$ ．求该曲线的弧长．
求由曲线 $y=x^2, y=x, y=2 x$ 所围成的图形的面积．
证明题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设函数 $f(x)$ 在区间 $[1,2]$ 上连续，在 $(1,2)$ 内可导，且 $f(2)=0$ ．证明：至少存在一点 $\xi \in(1,2)$ 使得
$$
\xi \ln (\xi) f^{\prime}(\xi)+f(\xi)=0
$$