单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
下列方程中，表示抛物柱面的是
$\text{A.}$ $z^2=y$
$\text{B.}$ $x^2+z^2=1$
$\text{C.}$ $z=x^2+y^2$
$\text{D.}$ $x^2+y^2-z^2=1$
曲面 $x+y^2-1=0$ 在点 $P(1,0,3)$ 处的法向量为
$\text{A.}$ $(1,0,0)$
$\text{B.}$ $(1,0,3)$
$\text{C.}$ $(1,2,0)$
$\text{D.}$ $(0,0,1)$
设平面 $\Pi$ 在三个坐标轴的截距都是 1 ，那么与平面 $\Pi$ 垂直的直线是
$\text{A.}$ $x+y+z=0$
$\text{B.}$ $\frac{x-1}{1}=\frac{y}{-1}=\frac{z+3}{1}$
$\text{C.}$ $\frac{x-2}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z+2}{1}$
$\text{D.}$ $\left\{\begin{array}{c}x+y+z+1=0 \\ x+z=0\end{array}\right.$
函数 $u=f(x, y, z)$ 在 $P_0\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 处存在三个偏导数是函数 $u=f(x, y, z)$ 在 $P_0\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 处连续的什么条件？
$\text{A.}$ 充要条件
$\text{B.}$ 充分条件
$\text{C.}$ 必要条件
$\text{D.}$ 既非充分也非必要条件
．设 $\Sigma_1$ 为上半单位球面，$\Sigma_2$ 为第一卦限内的单位球面，则
$\text{A.}$ $\iint_{\Sigma_1} x d S=4 \iint_{\Sigma_2} x d S$
$\text{B.}$ $\iint_{\Sigma_1} y d S=4 \iint_{\Sigma_2} y d S$
$\text{C.}$ $\iint_{\Sigma_1} z d S=4 \iint_{\Sigma_2} z d S$
$\text{D.}$ $\iint_{\Sigma_1} x y z d S=4 \iint_{\Sigma_2} x y z d S$
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
向量 $\vec{a}=3 \vec{i}+2 \vec{j}$ 在向量 $\vec{k}=(0,0,1)$ 上的投影为
原点 $O(0,0,0)$ 到平面 $x+y-z=1$ 的距离为
设 $z=x^y$ ，则 $\left.d z\right|_{\substack{x=e \\ y=1}}=$
设 $L$ 为连接点 $(1,1)$ 和点 $(4,5)$ 的直线段，则 $\int_L d s=$
设曲面 $\Sigma$ 为第一卦限内的单位球面，则 $\iint_{\Sigma} d S=$
解答题 （共 12 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求原点 $(0,0,0)$ 在平面 $\Pi: x+y+z=1$ 上的投影点的坐标．
设 $z=\int_0^{\frac{y}{x}} \sin \left(t^2\right) d t$ ，计算 $\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}$
设 $z=f(x y, x-y)$ ，其中 $f$ 具有二阶连续偏导数，计算 $\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial^2 z}{\partial x^2}$
求函数 $f(x, y, z)=x^2+\sin y z$ 在点 $A(1,3,0)$ 处的方向导数的最大值．
交换积分顺序计算二次积分 $\int_0^\pi d y \int_y^\pi \frac{\cos x}{x} d x$
计算三重积分 $\iiint_{\Omega} z d v$ ，其中 $\Omega$ 是由旋转拋物面 $z=x^2+y^2$ 与平面 $z=2$ 所围成的区域．
计算对弧长的曲线积分 $\int_L\left(x^2+y^2+z^2\right) d s$ ，其中 $L$ 为螺旋线：$\left\{\begin{array}{l}x=\cos t \\ y=\sin t, 0 \leq t \leq 2 \pi \\ z=t\end{array}\right.$
利用格林公式计算 $\oint_L(2 x-1) y d x+\left(x^2+y \ln \left(1+y^2\right)\right) d y$ ，其中$L$ ：按 $(x+4)^2+(y-2)^2=4$ 逆时针方向绕行．
对坐标的曲线积分 $I=\int_L\left(x+y^2\right) d x+\left(2 x y+y^2\right) d y$ ，其中 $L$ 是从原点沿上半圆周 $y=\sqrt{2 x-x^2}$ 到 $(1,1)$ 的有向曲线，验证该曲线积分与路径无关，并计算
利用高斯公式计算 $\iint_{\Sigma} x y^2 d y d z+2 z d z d x+x^2(z-1) d x d y$ ，其中 $\Sigma$ 是旋转抛物面 $z=x^2+y^2$ 在平面 $z=1$ 下方的部分，并取下侧
利用拉格朗日乘数法求原点到曲面 $(x-y)^2-z^2=1$ 的最短距离．
计算上半圆锥面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 被椭圆柱面 $4 x^2+y^2=1$ 所截下的有限部分的面积．
证明题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $z=\ln (\sqrt{x}+\sqrt{y})$ ，证明：$x \frac{\partial z}{\partial x}+y \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{1}{2}$