在 $\triangle A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c, b \sin 2 C=c \sin B, V A B C$ 的外接圆半径为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，
（1）求角 $C$ ：
（2）若 $\triangle A B C$ 的面积为 $4 \sqrt{3}$ ，求 $\triangle A B C$ 的周长．
已知 $a>0$ ，函数 $f(x)=\frac{ e ^x(a x-1)}{x-1}$ ．
（1）若 $a=2$ ，求 $f(x)$ 的单调区间；
（2）若 $f(x)$ 在 $(2,+\infty)$ 上不单调，求 $a$ 的取值范围．
已知圆 $O: x^2+y^2=1$ 和点 $M(1, \sqrt{3})$ ．
（1）过点 $M$ 作圆 $O$ 的切线，求切线的方程；
（2）已知 $A(2,4)$ ，设 $P$ 为满足方程 $|P A|^2+|P O|^2=34$ 的任意一点，过点 $P$ 向圆 $O$ 引切线，切点为 $B$ ，试探究：平面内是否存在一定点 $N$ ，使得 $\frac{|P B|^2}{|P N|^2}$ 为定值？若存在，则求出定点 $N$ 的坐标，并指出相应的定值：若不存在，则说明理由；
（3）过点 $M$ 作直线 $l$ 交圆 $O$ 于两个不同的点 $C, D$（ 线段 $C D$ 不经过圆心 $O$ ），分别在点 $C, D$ 处作圆 $O$ 的切线，两条切线交于点 $E$ ，求证：点 $E$ 在一条定直线上，并求出该直线的方程．
一游戏规则如下：一个质点在数轴上运动，从原点出发，每次向左或者向右移动一个单位，共移动了 $n$ 次．
（1）已知质点每次向右移动的概率为 $p(0 < p < 1)$ ．
① 当 $p=\frac{1}{2}, n=6$ 时，求质点最终回到原点的樫率；
② 规定质点在运动过程中，只要出现在原点左侧，游戏就结束，否则游戏就继续，直到移动了 $n$ 次，分别求出当 $n=3$ 和 $n=5$ 时质点最终落在原点右侧的概率并比较它们的大小
（2）现在规定游戏分为两个阶段：第一阶段，质点每次向右移动的概率为 $p_1$ ，共移动了 3 次，若质点最终落在了原点左侧，则结束游戏，且最终得分为 0 分．若最终落在了原点右侧，则通过第一阶段，并进入第二阶段：质点重新回到原点，每次向右移动的概率为 $p_2$ ，并再次移动了 3 次，若质点最终落在了原点左侧，则最终得分也为 0 分；若最终落在了原点右侧，则最终得分为质点位于数轴上所在位置对应的实数．
① 请用含 $p_1, p_2$ 的式子表示该游戏得分的数学期望；
② 若 $p_1+p_2=1$ ，则当 $p_1$ 取何值的时候，该游戏得分的期望值最大？