解答题 （共 9 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
讨论方程 $\ln x=a x$（其中 $a>0$ ）有几个实根．
试问 $a$ 为何值时，函数 $f(x)=a \sin x+\frac{1}{3} \sin 3 x$ 在 $x=\frac{\pi}{3}$ 处取得极值？它是极大值还是极小值？并求此极值．
已知制作一个背包的成本为 40 元，如果每一个背包的售出价格为 $x$ 元，售出的背包数由
$$
n=\frac{a}{x-40}+b(80-x)
$$
给出，其中 $a, b$ 为正常数．问什么样的售出价格能带来最大利润？
描绘 $y=\frac{1}{5}\left(x^4-6 x^2+8 x+7\right)$ 函数图
求椭圆 $4 x^2+y^2=4$ 在点 $(0,2)$ 处的曲率．
求$f(x)=x^3 \ln x$ 在 $x_0=1, n=4$ 得拉格朗日余项；
求$f(x)=\arctan x, x_0=0, n=3$ ，佩亚诺余项；