解答题 （共 8 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $y=f^n\left[\varphi\left( e ^{\sqrt{x}}\right)\right], f, \varphi$ 均可导，求 $y^{\prime}$ ．
设 $z=f(x, y), x=\varphi(y, z), f, \varphi$ 均可导，求 $\frac{ d z}{d y}$ ．
设 $f(x)$ 连续，（1）$F(x)=\int_0^x f(x-y) d y$ ，求 $F^{\prime}(x)$ ；
（2）$F(x)=\int_0^x t f(x-t) d t$ ，求 $F^{\prime}(x), F^{\prime \prime}(x)$ ．
设方程 $\int_0^{x y} e ^{-t^2} d t+\int_0^{y^2} \frac{\sin x}{x} d x=\ln y$ ，求 $y^{\prime}$ ．
设 $\left\{\begin{array}{l}x=\cos \left(t^2\right) \\ y=\int_0^t u e ^u \sin \left(u^2\right) d u\end{array}\right.$ ，求 $\frac{ d y}{d x}, \frac{d^2 y}{d x^2}$ ．
求曲线 $\rho=2 a \sin 2 \theta$ 在点 $\theta=\frac{\pi}{4}$ 处的切线方程．
设 $y=x^{2^x}+x^x+f\left(\cos ^2 x\right), f$ 可导，求 $y^{\prime}$ ．
设 $\varphi(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^2 \cos \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x=0\end{array}, f(x)\right.$ 在点 $x=0$ 处可导，令 $F(x)=f[\varphi(x)]$ ，求 $F^{\prime}(0)$ ．