俞正光编著线性代数同步辅导2003版(向量空间)

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俞正光编著线性代数同步辅导2003版(向量空间)

一、解答题（共 9 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

1. 已知平行四边形

A B C D

的对角线

\vec{A C} = α, \vec{B D} = β

，求

\vec{A B}, \vec{B C}

．

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2. 判断下列等式何时成立：
（1）

| α + β | = | α - β |

，
（2）

| α + β | = | α | + | β |

，
（3）

| α + β | = | α | - | β |

，
（4）

\frac{α}{| α |} = \frac{β}{| β |}

．

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3. 已知

α = (3, 5, 4), β = (- 6, 1, 2), γ = (0, - 3, - 4)

，求

2 α + 3 β

+ 4 γ

．

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4. 已知点

A (3, 5, 7)

和点

B (0, 1, - 1)

，求向量

A B

，并求

A

关于

B

的对称点

C

的坐标．

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5. 判断下列向量中哪些是共线的．

\begin{matrix} α_{1} = (1, 2, 3), α_{2} = (1, - 2, 3), α_{3} = (1, 0, 2), α_{4} = (- 3, 6, - 9), \\ α_{5} = (2, 0, 4), α_{6} = (- 1, - 2, - 3), α_{7} = (\frac{1}{4}, \frac{2}{4}, \frac{3}{4}), α_{8} = (\frac{1}{2}, - 1, - \frac{3}{2}) . \end{matrix}

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6. 设

α, β, γ

均为非零向量，其中任意两个向量不共线，但

α + β

与

γ

共线，

β + γ

与

α

共线，试证

α + β + γ = 0

。

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7. 判断

α, β, γ

是否共面．
（1）

α = (4, 0, 2), β = (6, - 9, 8), γ = (6, - 3, 3)

；
（2）

α = (1, - 2, 3), β = (3, 3, 1), γ = (1, 7, - 5)

．

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8. 如图，在三角形

△ A B C

中，

∠ A = 90^{\circ}, ∠ B = 30^{\circ}, A D

是

B C

\to\to

边上的高，求点

D

在坐标系

{A : \vec{A B}, \vec{A C}}

下的坐标．

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9. 用定义证明矩阵线性空间

M_{2 \times 2} (R)

中四个元素：

E_{11} = [\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}], E_{12} = [\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}], E_{21} = [\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{array}], E_{22} = [\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]

线性无关。

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