解答题 （共 12 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
$\int_0^{+\infty} \frac{d x}{x^2+4 x+8}=$
$\int_1^{+\infty} \frac{\ln x}{(1+x)^2} d x=$
计算反常积分 $\int_a^{+\infty} t e^{-p t} d t$ ，其中 $p$ 是常数，且 $p>0$
计算反常积分 $\int_0^a \frac{d x}{\sqrt{a^2-x^2}}(a>0)$ ．
$\int_1^2 \frac{x d x}{\sqrt{x-1}}$ ；
$\int_1^e \frac{d x}{x \sqrt{1-(\ln x)^2}}$ ．
求反常积分 $\int_0^{+\infty} \frac{d x}{\sqrt{x(x+1)^3}}$ ．
求极限 $\lim _{x \rightarrow a} \frac{x}{x-a} \int_a^x f(t) d t$ ，其中 $f(x)$ 连续；
求极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\int_0^x(\arctan t)^2 d t}{\sqrt{x^2+1}}$ ．
设 $x>0$ ，证明 $\int_0^x \frac{1}{1+t^2} d t+\int_0^{\frac{1}{x}} \frac{1}{1+t^2} d t=\frac{\pi}{2}$ ．
计算 $\int_0^a \frac{d x}{x+\sqrt{a^2-x^2}}$ ；
计算 $\int_0^\pi x^2|\cos x| d x$ ．