知乎高等数学《极限必做150题》第21-50题

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知乎高等数学《极限必做150题》第21-50题

一、解答题（共 30 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

1. 求极限

lim_{x \to + \infty} [\ln (1 + x) - \ln (x - 1)] x

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2. 求极限

lim_{x \to 0} \frac{\ln \cos x}{x^{2}}

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3. 求极限

lim_{x \to + \infty} [(x + 2) \ln (x + 2) - 2 (x + 1) \ln (x + 1) + x \ln x] x

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4. 求极限

lim_{x \to 0} {(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{\frac{1}{x}}

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5. 求极限

lim_{x \to + 0} (\cos \sqrt{x})^{\frac{1}{x}}

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6. 求极限

lim_{x \to 0} {[\tan (\frac{π}{4} - x)]}^{\cot x}

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7. 求极限

lim_{x \to 0} (\sin x + \cos x)^{\frac{1}{x}}

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8. 求极限

lim_{x \to \frac{π}{2}} (\sin x)^{\tan^{2} x}

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9. 求极限

lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x^{2} - x + 1}{2 x^{2} + x - 1})}^{x}

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10. 求极限

lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x + 1}{2 x - 1})}^{3 x}

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11. 求极限

lim_{x \to 0} (1 - 2 x)^{\frac{1}{x}}

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12. 求极限

lim_{x \to + \infty} \cos^{x} \frac{π}{\sqrt{x}}

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13. 求极限

lim_{x \to α} {(\frac{\cos x}{\cos α})}^{\frac{1}{x - α}} (α \neq k π + \frac{π}{2}, k \in Z

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14. 求极限

lim_{x \to 0} \frac{\ln (x_{0} + x) + \ln (x_{0} - x) - 2 \ln x_{0}}{x^{2}} (x_{0} > 0)

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15. 求极限

lim_{x \to + \infty} \ln (1 + e^{a x}) \ln (1 + \frac{b}{x}) (a, b

为常数, 且

a > 0)

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16. 求极限

lim_{x \to 0} \frac{\ln (\sec x + \tan x)}{\sin x}

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17. 求极限

lim_{x \to + \infty} x^{2} (a^{\frac{1}{x}} - a^{\frac{1}{x + 1}}) (a > 0, a \neq 1)

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18. 求极限

lim_{x \to 0} {(\frac{1 + x a^{x}}{1 + x b^{x}})}^{\frac{1}{x^{2}}} (a > 0, b > 0

且

a \neq 1, b \neq 1, a \neq b)

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19. 求极限

lim_{x \to 0} \frac{e^{5 x} - 1}{x}

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20. 求极限

lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + e^{- x} - 2}{x^{2}}

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21. 求极限

lim_{x \to 0} \frac{e^{\tan x} - e^{3 x}}{\sin x}

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22. 求极限

lim_{x \to 0} \frac{a^{3 x} - 1}{x} (a > 0, a \neq 1)

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23. 求极限

lim_{x \to a} \frac{a^{x} - a^{a}}{x - a}, (a > 0, a \neq 1)

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24. 求极限

lim_{x \to x_{0}} \frac{\ln x - \ln x_{0}}{x - x_{0}} (x_{0} > 0)

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25. 求极限

lim_{x \to 1} \frac{x^{n} - 1}{x - 1}

, (

n

为任意实数).

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26. 求极限

lim_{x \to 0} {(\frac{a^{x} + b^{x}}{2})}^{\frac{1}{x}}, (a > 0, b > 0)

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27. 求极限

lim_{x \to 0} {(a x + e^{b x})}^{\frac{1}{x}}, (a, b

为正的常数)

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28. 证明不等式:

\ln (1 + \frac{1}{n}) < \frac{1}{n}

. (其中

n

为正整数)

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29. 设

α (x) = x^{3} - 3 x + 2, β (x) = c (x - 1)^{n}

,确定

c

及

n

, 使当

x \to 1

时,

α (x) \sim β (x)

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30. 设

f (x) = \sqrt{x + 2} - 2 \sqrt{x + 1} + \sqrt{x}, g (x) = \frac{A}{x^{k}}

,确定

k

及

A

, 使当

x \to + \infty

时,

f (x) \sim g (x)

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