单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
若将函数 $y=\sin \left(2 x+\frac{\pi}{3}\right)$ 的图象向右平移 $\frac{\pi}{12}$ 个单位长度后, 得到函数 $y=g(x)$ 的图象, 则 $g\left(\frac{\pi}{12}\right)$ 的值为
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$
已知函数 $f(x)=2 \sin (\omega x+\varphi)(\omega>0,|\varphi| < \pi)$ 的部分图象如图所示, 且 $x_2-x_1=\frac{\pi}{4}$, 则 $\omega, \varphi$ 的值为
$\text{A.}$ $\omega=1, \varphi=\frac{3 \pi}{4}$
$\text{B.}$ $\omega=1, \varphi=\frac{11 \pi}{12}$
$\text{C.}$ $\omega=2, \varphi=\frac{\pi}{3}$
$\text{D.}$ $\omega=2, \varphi=\frac{2 \pi}{3}$
函数 $y=2 \sin \left(\frac{\pi x}{6}-\frac{\pi}{3}\right)(0 \leq x \leq 9)$ 的最大值与最小值之差为 $(\quad)$
$\text{A.}$ $2-\sqrt{3}$
$\text{B.}$ 0
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ $2+\sqrt{3}$
阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置. 我国第一高楼上海中心大夏的阻尼器减震装置, 被称为"定楼神器", 如图 1.由物理学知识可知, 某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动, 其离开平衡位置的位移 $y(\mathrm{~m})$ 和时间 $t(\mathrm{~s})$ 的函数关系为 $y=\sin (\omega t+\varphi)(\omega>0,|\varphi| < \pi)$, 如图 2, 若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为 $t_1, t_2, t_3\left(0 < t_1 < t_2 < t_3\right)$, 且 $t_1+t_2=2, t_2+t_3=5$, 则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于 0.5 m 的总时间为
$\text{A.}$ $\frac{1}{3} \mathrm{~S}$
$\text{B.}$ $\frac{2}{3} \mathrm{~s}$
$\text{C.}$ 1s
$\text{D.}$ $\frac{4}{3} \mathrm{~S}$
把函数 $y=\sin \left(2 x+\frac{\pi}{3}\right)$ 图象上所有点的纵坐标不变, 横坐标变为原来的 2 倍, 得到函数 $f(x)$ 的图象; 再将 $f(x)$ 图象上所有点向右平移 $\frac{\pi}{3}$ 个单位, 得到函数 $g(x)$ 的图象, 则 $g(x)=$
$\text{A.}$ $-\sin 4 x$
$\text{B.}$ $\sin x$
$\text{C.}$ $\sin \left(x+\frac{2 \pi}{3}\right)$
$\text{D.}$ $\sin \left(4 x+\frac{5 \pi}{3}\right)$
已知定义在 $\mathbf{R}$ 上的偶函数 $f(x)=\sqrt{3} \sin (\omega x+\varphi)-\cos (\omega x+\varphi)(\varphi \in(0, \pi), \omega>0)$, 对任意 $x \in \mathbf{R}$ 都有 $f(x)+f\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=0$, 当 $\omega$ 取最小值时, $f\left(\frac{\pi}{6}\right)$ 的值为（）
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ $\sqrt{3}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$
设函数 $y=\sin \left(2 x+\frac{\pi}{3}\right)$ 在区间 $\left[t, t+\frac{\pi}{4}\right]$ 上的最大值为 $g_1(t)$ ，最小值为 $g_2(t)$ ，则 $g_1(t)-g_2(t)$ 的最小值为 $(\quad)$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{2}-1}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{2-\sqrt{2}}{2}$
若存在实数 $\varphi \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$, 使得函数 $y=\sin \left(\omega x+\frac{\pi}{3}\right)(\omega>0)$ 的图象关于直线 $x=\varphi$ 对称, 则 $\omega$ 的取值范围为 $(\quad)$
$\text{A.}$ $\left[\frac{1}{3},+\infty\right)$
$\text{B.}$ $\left[\frac{1}{6},+\infty\right)$
$\text{C.}$ $\left(\frac{1}{3},+\infty\right)$
$\text{D.}$ $\left(0, \frac{1}{6}\right)$
多选题 （共 4 题 ），每题有多个选项正确
己知函数 $f(x)=\sin \left(\omega x+\frac{\pi}{3}\right)(0 < \omega < 2)$ 向左平移 $\frac{\pi}{6}$ 个单位长度, 得到函数 $g(x)$ 的图像, 若 $g(x)$ 是偶函数, 则
$\text{A.}$ $g(x)$ 的最小正周期为 $\pi$
$\text{B.}$ 点 $\left(\frac{2 \pi}{3}, 0\right)$ 是 $f(x)$ 图像的一个对称中心
$\text{C.}$ $f(x)$ 在 $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 的值域为 $\left[\frac{1}{2}, 1\right]$
$\text{D.}$ 函数 $f(x)$ 在 $\left[-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}\right]$ 上单调递增
对于函数 $f(x)=\sin x+\frac{1}{2} \sin 2 x$, 则下列结论正确的是（）
$\text{A.}$ $2 \pi$ 是 $f(x)$ 的一个周期
$\text{B.}$ $f(x)$ 在 $[0,2 \pi]$ 上有 3 个零点
$\text{C.}$ $f(x)$ 的最大值为 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$
$\text{D.}$ $f(x)$ 在 $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上是增函数
已知函数 $f(x)=\frac{\sqrt{3}}{2} \sin 2 x-\sin ^2 x+\frac{1}{2}$, 则下列说法正确的是 ( )
$\text{A.}$ 函数 $f(x)$ 的最小正周期为 $\pi$
$\text{B.}$ 函数 $f(x)$ 的图象的一条对称轴方程为 $x=\frac{\pi}{6}$
$\text{C.}$ 函数 $f(x)$ 的图象可由 $y=\sin 2 x$ 的图象向左平移 $\frac{\pi}{12}$ 个单位长度得到
$\text{D.}$ 函数 $f(x)$ 在区间 $\left(0, \frac{\pi}{3}\right)$ 上单调递增
已知函数 $f(x)=A \sin (\omega x+\varphi)\left(A>0, \omega>0,|\varphi| < \frac{\pi}{2}, x \in \mathbf{R}\right)$ 的部分函数图象如图所示.
将函数 $f(x)$ 的图象上所有点纵坐标不变, 横坐标变为原来的 $\frac{1}{t}(t>0)$ 倍, 得到 $g(x)$ 的图象, 若 $g(x)$ 在区间 $\left(\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}\right)$ 上单调递增, 则实数 $t$ 的取值范围可能是
$\text{A.}$ $\left(0, \frac{5}{6}\right]$
$\text{B.}$ $\left(\frac{5}{6},+\infty\right)$
$\text{C.}$ $\left(0, \frac{17}{6}\right)$
$\text{D.}$ $\left[\frac{11}{4}, \frac{17}{6}\right]$
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
写出函数 $f(x)=\frac{\cos x}{1-\sin x}$ 的一个对称中心:
函数 $f(x)=2 \cos ^2 x-\sin 2 x+1$ 在 $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 的单调递增区间是
已知函数 $f(x)=\sin \left(\omega x+\frac{\pi}{4}\right)(\omega>0)$ 在区间 $[0, \pi]$ 上有且仅有 3 个零点, 则 $\omega$ 的取值范围是
将函数 $y=2 \sin 3 x \cos 3 x+\sqrt{3} \cos 6 x$ 的图象向左平移 $\varphi\left(0 < \varphi < \frac{\pi}{2}\right)$ 个单位长度后得到函数 $f(x)$ 的图象,若 $f(x)$ 为奇函数，则 $\varphi=$ ； $\qquad$
若 $f(x)$ 在 $\left(\pi, \frac{19 \pi}{18}\right)$ 上单调递减, 则 $\varphi$ 的取值范围为 - $\qquad$