单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
已知角 $\alpha$ 的终边经过点 $(-2,1+\tan \alpha)$, 则 $\tan 2 \alpha=$
$\text{A.}$ $-\frac{3}{4}$
$\text{B.}$ $\frac{3}{4}$
$\text{C.}$ $-\frac{4}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{4}{3}$
已知 $\sin \left(\pi+\frac{\theta}{2}\right)=\frac{4}{5}, \sin \left(\frac{\pi}{2}+\frac{\theta}{2}\right)=\frac{3}{5}$, 则角 $\theta$ 所在的象限是
$\text{A.}$ 第一象限
$\text{B.}$ 第二象限
$\text{C.}$ 第三象限
$\text{D.}$ 第四象限
已知 $\tan \left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)=2 \tan \theta-7$, 则 $\sin 2 \theta=$
$\text{A.}$ $2$
$\text{B.}$ $\pm 2$
$\text{C.}$ $\pm \frac{4}{5}$
$\text{D.}$ $\frac{4}{5}$
已知函数 $f(x)=2 \sin (\omega x+\varphi)\left(\omega>0,-\frac{\pi}{2} < \varphi < \frac{\pi}{2}\right)$ 图象的相邻两条对称轴之间的距离为 $\frac{\pi}{6}$, 且关于点 $\left(\frac{5 \pi}{18}, 0\right)$ 对称, 则 $\varphi$ 的值为
$\text{A.}$ $\frac{\pi}{12}$
$\text{B.}$ $\frac{\pi}{6}$
$\text{C.}$ $\frac{\pi}{4}$
$\text{D.}$ $\frac{\pi}{3}$
一半径为 2 m 的水轮, 水轮圆心 $O$ 距离水面 1 m ; 已知水轮按逆时针做匀速转动, 每 3 秒转一圈, 且当水轮上点 $P$ 从水中浮现时 (图中点 $P_0$ ) 开始计算时间. 如图所示, 建立直角坐标系, 将点 $P$ 距离水面的高度 $h$ (单位: m ) 表示为时间 $t$ (单位: s ) 的函数, 记 $h=f(t)$, 则 $f(0)+f(1)+f(2)=$
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
已知函数 $f(x)=\sin \omega x+\sqrt{3} \cos \omega x(\omega>0)$, 下列说法不正确的是（）
$\text{A.}$ 函数 $f(x)$ 的值域为 $[-2,2]$
$\text{B.}$ 若存在 $x_1, x_2 \in \mathbf{R}$, 使得对 $\forall x \in \mathbf{R}$ 都有 $f\left(x_1\right) \leq f(x) \leq f\left(x_2\right)$, 则 $\left|x_1-x_2\right|$ 的最小值为 $\frac{2 \pi}{\omega}$
$\text{C.}$ 若函数 $f(x)$ 在区间 $\left[-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}\right]$ 上单调递增, 则 $\omega$ 的取值范围为 $\left(0, \frac{1}{2}\right]$
$\text{D.}$ 若函数 $f(x)$ 在区间 $(0, \pi)$ 上恰有 3 个极值点和 2 个零点, 则 $\omega$ 的取值范围为 $\left(\frac{13}{6}, \frac{8}{3}\right]$
在 $\triangle A B C$ 中, 内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$, 角 $B$ 为锐角, 若 $c=4 b \cos A$, 则 $\frac{\tan A}{\tan B \cdot \tan C}+\frac{6}{\tan A}$ 的最小值为
$\text{A.}$ $\frac{7 \sqrt{3}}{3}$
$\text{B.}$ $\frac{3 \sqrt{5}}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{3}{2}$
函数 $f(x)=2 \sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right)+\cos 2 x$ 的最大值为
$\text{A.}$ $1+\sqrt{2}$
$\text{B.}$ $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$
$\text{C.}$ $2 \sqrt{2}$
$\text{D.}$ 3
多选题 （共 4 题 ），每题有多个选项正确
将三角函数 $h(x)=\sqrt{3} \cos 2^2 x-\sin x \cos x$ 经如下变换后得到 $y=\sin x$ 的图象:
(1) 将图象向右平移 $\frac{\pi}{3}$ 个单位;
(2) 将图象向左平移 $\frac{\pi}{3}$ 个单位;
(3)将图象向下平移 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 个单位; (4)将图象上所有点的横坐标扩大至原来的 2 倍;以下变换顺序正确的是（）
$\text{A.}$ (4)(1)(3)
$\text{B.}$ (4)(3)(1)(1)
$\text{C.}$ (2)(2)(3)(4)
$\text{D.}$ (3)(1)(4)
若 $\sin \alpha+\sqrt{3} \cos \alpha=\frac{1}{2}$, 则 $(\quad)$
$\text{A.}$ $\cos \left(\alpha+\frac{5 \pi}{6}\right)=\frac{1}{4}$
$\text{B.}$ $3 \tan ^2 \alpha+8 \sqrt{3} \tan \alpha=-11$
$\text{C.}$ $\sin \left(\alpha+\frac{4 \pi}{3}\right)=-\frac{1}{4}$
$\text{D.}$ $3 \tan ^2 \alpha+8 \sqrt{3} \tan \alpha=-12$
声音是由物体振动产生的声波, 纯音的数学模型是函数 $y=A_{\sin } \omega t$, 我们听到的声音是由纯音合成, 称为复合音. 若一个复合音的数学模型是函数 $f(x)=\sin \frac{1}{2} x-\frac{1}{2} \sin ^x$, 则下列结论中正确的是（）
$\text{A.}$ $f(x)$ 是奇函数
$\text{B.}$ $f(x)$ 在区间 $(0,2 \pi)$ 内有最大值 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$
$\text{C.}$ $f(x)$ 的周期是 $2 \pi$
$\text{D.}$ $f(x)$ 在区间 $(0,2 \pi)$ 内有一个零点
在 $\triangle A B C$ 中, 角 $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$, 已知 $\sin A=\sin B \sin C$, 则下列说法正确的是
$\text{A.}$ $\tan A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2 a^2}$
$\text{B.}$ $S_{\triangle A B C}=\frac{1}{2} a^2$
$\text{C.}$ $\frac{\sin B}{\sin C}+\frac{\sin C}{\sin B}$ 有最大值
$\text{D.}$ $a^2 \leq \frac{4}{5} b c$
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知 $\tan \left(\theta+\frac{\pi}{12}\right)=2$, 则 $\sin \left(\frac{\pi}{3}-2 \theta\right)=$
已知函数 $y=\frac{\sqrt{3}}{2} \sin \pi x+\frac{1}{2} \cos \pi x$ 在 $x \in\left[\frac{2}{3}, t\right]\left(t>\frac{2}{3}\right)$ 时的最小值为 $m$, 最大值为 $M$, 若 $2 M+m=0$, 则 $(m+M) t$ 的取值范围为
在 $\triangle A B C$ 中, 内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$, 已知 $c=2 a \sin C-2 c \cos A$, 则 $\sin 2 A=$ $\qquad$ ；若 $a=2$, 则 $\triangle A B C$ 面积的最大值为
已知函数 $f(x)=\sin (\omega x+\varphi)(\omega>0,|\varphi| < \pi)$ 为奇函数, $g(x)=\cos \omega x+a$ ( $a$ 为常数), 且 $\forall x_1, x_2 \in \mathbf{R},\left|f\left(x_1\right)-g\left(x_2\right)\right| \leq 2$ 恒成立. 设 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的图象在 $y$ 轴右侧的交点依次为 $A_1, A_2, \cdots, O$ 为坐标原点, 若 $\triangle O A_1 A_2$ 的面积最小值为 $\frac{\sqrt{2}}{16} \pi$, 且 $\angle A_1 O A_2$ 为针角, 则 $\omega$ 的取值范围是