已知函数 $f(x)$ 对任意的 $x \in \mathbf{R}$, 都有 $f\left(\frac{1}{2}+x\right)=f\left(\frac{1}{2}-x\right)$, 函数 $f(x+1)$ 是奇函数,当 $-\frac{1}{2} \leqslant x \leqslant \frac{1}{2}$ 时, $f(x)=2 x$, 则方程 $f(x)=-\frac{1}{2}$ 在区间 $[-3,5]$ 内的所有根之和为

设 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbb{R}$ ，若对任意 $x_1, x_2 \in \mathbb{R}\left(x_1 \neq x_2\right)$ ；满足

$$
\left|f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)\right| < \left|x_1-x_2\right|
$$


均成立, 则称 $f(x)$ 是 "平缓函数".
(1)判断 $f_1(x)=\frac{1}{x^2+1}$ 和 $f_2(x)=\sin x$ 是否为 "平缓函数". (不说明理由)
(2)若 $f(x)$ 是以 1 为周期的 "平缓函数"，证明:对任意的 $x_1, x_2 \in \mathbb{R}$ ，都有

$$
\left|f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)\right| < \frac{1}{2}
$$

(3)设 $g(x)$ 定义域为 $\mathbb{R}$ ，且存在常数 $A>1$ ，使得 $A g(x)$ 为 "平缓函数". 现定义数列 $\left\{x_n\right\}$ ，满足 $x_1=0$ ，且 $x_n=g\left(x_{n-1}\right)$ 对 $n=2,3, \cdots$ 成立. 证明:对任意正整数 $n$,有

$$
g\left(x_n\right) \leq \frac{A|g(0)|}{A-1}
$$