单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
函数 $f(x)=|x|^{\frac{1}{(1-x)(x-2)}}$ 的第一类间断点的个数是 ( )
$\text{A.}$ 3
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ 0
设函数 $y=f(x)$ 由参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=1+t^3, \\ y=\mathrm{e}^{t^2}\end{array}\right.$ 确定，则 $\lim _{x \rightarrow+\infty} x\left(f\left(2+\frac{2}{x}\right)-f(2)\right)=(\quad)$
$\text{A.}$ 2 e
$\text{B.}$ $\frac{4}{3} \mathrm{e}$
$\text{C.}$ $\frac{2}{3} \mathrm{e}$
$\text{D.}$ $\frac{\mathrm{e}}{3}$
已知函数 $f(x)=\int_0^{\sin x} \sin t^3 \mathrm{~d} t, g(x)=\int_0^x f(t) \mathrm{d} t$ ，则 ( )
$\text{A.}$ $f(x)$ 是奇函数， $g(x)$ 是奇函数
$\text{B.}$ $f(x)$ 是奇函数， $g(x)$ 是偶函数
$\text{C.}$ $f(x)$ 是偶函数， $g(x)$ 是偶函数
$\text{D.}$ $f(x)$ 是偶函数， $g(x)$ 是奇函数
已知数列 $\left\{a_n\right\}\left(a_n \neq 0\right)$ ，若 $\left\{a_n\right\}$ 发散，则（ ）
$\text{A.}$ $\left\{a_n+\frac{1}{a_n}\right\}$ 发散
$\text{B.}$ $\left\{a_n-\frac{1}{a_n}\right\}$ 发散
$\text{C.}$ $\left\{\mathrm{e}^{a_n}+\frac{1}{\mathrm{e}^{a_n}}\right\}$ 发散
$\text{D.}$ $\left\{\mathrm{e}^{a_n}-\frac{1}{\mathrm{e}^{a_n}}\right\}$ 发散
已知函数 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\left(x^2+y^2\right) \sin \frac{1}{x y}, & x y \neq 0, \\ 0, & x y=0\end{array}\right.$ ，则在点 $(0,0)$ 处（）
$\text{A.}$ $\frac{\partial f(x, y)}{\partial x}$ 连续， $f(x, y)$ 可微
$\text{B.}$ $\frac{\partial f(x, y)}{\partial x}$ 连续， $f(x, y)$ 不可微
$\text{C.}$ $\frac{\partial f(x, y)}{\partial x}$ 不连续， $f(x, y)$ 可微
$\text{D.}$ $\frac{\partial f(x, y)}{\partial x}$ 不连续， $f(x, y)$ 不可微
设 $f(x, y)$ 是连续函数，则 $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} x \int_{\sin x}^1 f(x, y) \mathrm{d} y=(\quad)$
$\text{A.}$ $\int_{\frac{1}{2}}^1 \mathrm{~d} y \int_{\frac{\pi}{6}}^{\arcsin y} f(x, y) \mathrm{d} x$
$\text{B.}$ $\int_{\frac{1}{2}}^1 \mathrm{~d} y \int_{\arcsin y}^{\frac{\pi}{2}} f(x, y) \mathrm{d} x$
$\text{C.}$ $\int_0^{\frac{1}{2}} \mathrm{~d} y \int_{\frac{\pi}{6}}^{\arcsin y} f(x, y) \mathrm{d} x$
$\text{D.}$ $\int_0^{\frac{1}{2}} \mathrm{~d} y \int_{\arcsin y}^{\frac{\pi}{2}} f(x, y) \mathrm{d} x$
设非负函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续，给出以下三个命题:
(1) 若 $\int_0^{+\infty} f^2(x) \mathrm{d} x$ 收敛，则 $\int_0^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛。
(2) 若存在 $p>1$ ，使得 $\lim _{x \rightarrow+\infty} x^p f(x)$ 存在，则 $\int_0^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛.
(3) 若 $\int_0^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，则存在 $p>1$ ，使得 $\lim _{x \rightarrow+\infty} x^p f(x)$ 存在.其中真命题的个数为（）
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
设 $A$ 为 3 阶矩阵， $P=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right)$ ，若
$P^T A P^2=\left(\begin{array}{ccc}a+2 c & 0 & c \\ 0 & b & 0 \\ 2 c & 0 & c\end{array}\right) ，$ 则 $A= $
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{lll}c & 0 & 0 \\ 0 & a & 0 \\ 0 & 0 & b\end{array}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{lll}b & 0 & 0 \\ 0 & c & 0 \\ 0 & 0 & a\end{array}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{lll}a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & c\end{array}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{lll}c & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & a\end{array}\right)$
设 $\boldsymbol{A}$ 为 4 阶矩阵， $\boldsymbol{A}^*$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵. 若 $\boldsymbol{A}\left(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{A}^*\right)=O$ ，且 $A \neq A^*$ ，则 $r(A)$ 的取值为
$\text{A.}$ 0 或 1
$\text{B.}$ 1 或 3
$\text{C.}$ 2 或 3
$\text{D.}$ 1 或 2
设 $A, B$ 为 2 阶矩阵，且 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}$ ，则 " $\boldsymbol{A}$ 有两个不相等的特征值"是 " $B$ 可对角化" 的 ( )
$\text{A.}$ 充分必要条件
$\text{B.}$ 充分不必要条件
$\text{C.}$ 必要不充分条件
$\text{D.}$ 既不充分也不必要条件
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
曲线 $y^2=x$ 在点 $(0,0)$ 处的曲率圆方程为
函数 $f(x, y)=2 x^3-9 x^2-6 y^4+12 x+24 y$ 的极值点是
微分方程 $y^{\prime}=\frac{1}{(x+y)^2}$ 满足 $y(1)=0$ 的解为
已知函数 $f(x)=\left(\mathrm{e}^x+1\right) x^2$ ，则 $f^{(5)}(1)=$
某物体以速度 $v(t)=t+k \sin \pi t$ 做直线运动，若它从 $t=0$ 到 $t=3$ 的时间段内平均速度是 $\frac{5}{2}$ ，则 $k=$
16、设向量 $\alpha_1=\left(\begin{array}{c}a \\ 1 \\ -1 \\ 1\end{array}\right), \alpha_2=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ b \\ a\end{array}\right), \alpha_3=\left(\begin{array}{c}1 \\ a \\ -1 \\ 1\end{array}\right)$, 若 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性相关，且其中任意两个向量均线性无关，则 $a b=$ $\qquad$
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设有界区域 $D$ 位于第一象限，由曲线 $x y=\frac{1}{3}, x y=3$ 与直线 $y=\frac{1}{3} x, y=3 x$ 围成，计算 $I=\iint_D(1+x-y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$.
设 $y(x)$ 为微分方程 $x^2 y^{\prime \prime}+x y^{\prime}-9 y=0$ 满足条件 $\left.y\right|_{x=1}=2,\left.y^{\prime}\right|_{x=1}=6$ 的解.
(1) 利用变换 $x=\mathrm{e}^t$ 将上述方程化为常系数线性方程，并求 $y(x)$ ；
(2) 计算 $\int_1^2 y(x) \sqrt{4-x^2} \mathrm{~d} x$.
设 $t>0$ ，平面有界区域 $D$ 由曲线 $y=\sqrt{x} \mathrm{e}^{-x}$ 与直线 $x=t, x=2 t$ 及 $x$ 轴围成， $D$ 绕 $x$ 轴旋转一周所成旋转体的体积为 $V(t)$ ，求 $V(t)$ 的最大值.
已知函数 $f(u, v)$ 具有 2 阶连续偏导数，且函数 $g(x, y)=f(2 x+y, 3 x-y)$ 满足 $\frac{\partial^2 g}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 g}{\partial x \partial y}-6 \frac{\partial^2 g}{\partial y^2}=1$.
(1) 求 $\frac{\partial^2 f}{\partial u \partial v}$;
（2）若 $\frac{\partial f(u, 0)}{\partial u}=u \mathrm{e}^{-u}, f(0, v)=\frac{1}{50} v^2-1$ ，求 $f(u, v)$ 的表达式.
设 $f(x)$ 具有二阶导数，且 $f^{\prime}(0)=f^{\prime}(1),\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leq 1$.
证明：（1）当 $x \in(0,1)$ 时，有
$$
|f(x)-f(0)(1-x)-f(1) x| \leq \frac{x(1-x)}{2}
$$
(2) $\left|\int_0^1 f(x) \mathrm{d} x-\frac{f(0)+f(1)}{2}\right| \leq \frac{1}{12}$.
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & a \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right), B=\left|\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & 1 \\ b & 2\end{array}\right|$ ， 二次型
$$
f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x^T B A x
$$
已知方程组 $A x=0$ 的解均是 $B^T x=0$ 的解，但两个方程组不同解.
(1) 求 $a, b$ 的值;
(2) 求正交变换 $x=Q y$ 将 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 化为标准形.