单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续，其导函数的图形如图所示, 则
$\text{A.}$ 函数 $f(x)$ 有 2 个极值点，曲线 $y=f(x)$ 有 2 个拐点
$\text{B.}$ 函数 $f(x)$ 有 2 个极值点，曲线 $y=f(x)$ 有 3 个拐点
$\text{C.}$ 函数 $f(x)$ 有 3 个极值点，曲线 $y=f(x)$ 有 1 个拐点
$\text{D.}$ 函数 $f(x)$ 有 3 个极值点，曲线 $y=f(x)$ 有 2 个拐点
已知函数 $f(x, y)=\frac{e^x}{x-y}$ ，则
$\text{A.}$ $f_x{ }^{\prime}-f_y^{\prime}=0$
$\text{B.}$ $f_x^{\prime}+f_y^{\prime}=0$
$\text{C.}$ $f_x^{\prime}-f_y^{\prime}=f$
$\text{D.}$ $f_x^{\prime}+f_y^{\prime}=f$
设 $J_i=\iint_{D_i} \sqrt[3]{x-y} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y(i=1,2,3)$ ，其中
$$
\begin{gathered}
D_1=\{(x, y) \mid 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1\} \\
D_2=\{(x, y) \mid 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq \sqrt{x}\}, \\
D_3=\left\{(x, y) \mid 0 \leq x \leq 1, x^2 \leq y \leq 1\right\},
\end{gathered}
$$
则
$\text{A.}$ $J_1 < J_2 < J_3$
$\text{B.}$ $J_3 < J_1 < J_2$
$\text{C.}$ $J_2 < J_3 < J_1$
$\text{D.}$ $J_2 < J_1 < J_3$
级数为 $\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right) \sin (n+k)(k$ 为常数 $)$ ，则该级数
$\text{A.}$ 绝对收敛
$\text{B.}$ 条件收敛
$\text{C.}$ 发散
$\text{D.}$ 收敛性与 $k$ 有关
设 $A, B$ 是可逆矩阵，且 $\boldsymbol{A}$ 与 $B$ 相似，则下列结论错误的是
$\text{A.}$ $A^T$ 与 $B^T$ 相似
$\text{B.}$ $A^{-1}$ 与 $B^{-1}$ 相似
$\text{C.}$ $A+A^T$ 与 $B+B^T$ 相似
$\text{D.}$ $A+A^{-1}$ 与 $B+B^{-1}$ 相似
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=a\left(x_1^2+x_2^2+x_3^2\right)+2 x_1 x_2+$ $2 x_2 x_3+2 x_1 x_3$ 的正负惯性指数分别为 1,2 ，则
$\text{A.}$ $a>1$
$\text{B.}$ $a < -2$
$\text{C.}$ $-2 < a < 1$
$\text{D.}$ $a=1$ 或 $a=-2$
设 $A, B$ 为随机事件， $0 < P(A) < 1,0 < P(B) < 1$, 若 $P(A \mid B)=1$ ，则下面正确的是
$\text{A.}$ $P(\bar{B} \mid \bar{A})=1$
$\text{B.}$ $P(A \mid \bar{B})=0$
$\text{C.}$ $P(A \cup B)=1$
$\text{D.}$ $P(B \mid A)=1$
设随机变量 $\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}$ 相互独立，且
$$
X \sim N(1,2), Y \sim N(1,4),
$$
则 $D(X Y)=(\quad)$
$\text{A.}$ 6
$\text{B.}$ 8
$\text{C.}$ 14
$\text{D.}$ 15
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知函数 $f(x)$ 满足 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+f(x) \sin 2 x}-1}{e^{3 x}-1}=2$ ，则 $\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=$
极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^2}\left(\sin \frac{1}{n}+2 \sin \frac{2}{n}+\cdots+n \sin \frac{n}{n}\right)=$ $\sin 1-\cos 1$.
设函数 $f(u, v)$ 可微， $z=z(x, y)$ 由方程
$$
(x+1) z-y^2=x^2 f(x-z, y)
$$
确定，则 $\left.\mathrm{d} \boldsymbol{z}\right|_{(0,1)}=$
设 $D=\{(x, y)|| x \mid \leq y \leq 1,-1 \leq x \leq 1\}$ ，则
$$
\iint_D x^2 e^{-y^2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=
$$
行列式 $\left|\begin{array}{cccc}\lambda & -1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & -1 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda & -1 \\ 4 & 3 & 2 & \lambda+1\end{array}\right|=$
设袋中有红、白、黑球各 1 个，从中有放回的取球，每次取 1 个，直到三种颜色的球都取到为止，则取球次数恰为 4 的概率为
解答题 （共 9 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求 $\lim _{x \rightarrow 0}(\cos 2 x+2 x \sin x)^{\frac{1}{x^4}}$.
设某商品的最大需求量为 1200 件，该商品的需求函数 $Q=Q(p)$ ，需求弹性 $\eta=\frac{p}{120-p}(\eta>0) ， p$ 为单价（万元) .
（1）求需求函数的表达式；
（2）求 $p=100$ 万元时的边际收益，并说明其经济意义。
设函数 $f(x)=\int_0^1\left|t^2-x^2\right| \mathrm{d} t(x>0)$ ，求 $f^{\prime}(x)$ ，并求 $f(x)$ 的最小值
设函数 $f(x)$ 连续，且满足
$$
\int_0^x f(x-t) \mathrm{d} t=\int_0^x(x-t) f(t) \mathrm{d} t+e^{-x}-1 ，
$$
求 $f(x)$.
求幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2 n+2}}{(n+1)(2 n+1)}$ 的收敛域及和函数。
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1-a \\ 1 & 0 & a \\ a+1 & 1 & a+1\end{array}\right), \beta=\left(\begin{array}{c}0 \\ 1 \\ 2 a-2\end{array}\right)$ ，且方程组 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{\beta}$ 无解.
(1) 求 $a$ 的值；
(2) 求方程组 $A^T \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{A}^T \boldsymbol{\beta}$ 的通解
已知矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}0 & -1 & 1 \\ 2 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$
(1) 求 $A^{99}$ ；
（2）设 3 阶矩阵 $B=\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\right)$ 满足 $B^2=B A$ 。记 $B^{100}=\left(\beta_1, \beta_2, \beta_3\right)$ ，将 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 分别表示成 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$的线性组合.
设二维随机变量 $(X, Y)$ 在区域
$$
D=\left\{(x, y) \mid 0 < x < 1, x^2 < y < \sqrt{x}\right\}
$$
上服从均匀分布，令 $U=\left\{\begin{array}{l}1, X \leq Y, \\ 0, X>Y .\end{array}\right.$
(1) 写出 $(X, Y)$ 的概率密度；
(2) 问 $U$ 与 $\boldsymbol{X}$ 是否相互独立? 并说明理解；
(3) 求 $Z=U+X$ 的分布函数 $F(z)$.
设总体 $X$ 的概率密度为 $f(x, \theta)=\left\{\begin{array}{l}\frac{3 x^2}{\theta^3}, 0 < x < \theta, \\ 0, \text { 其他, }\end{array}\right.$其中 $\theta \in(0,+\infty)$ 为未知参数， $X_1, X_2, X_3$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本，令 $T=\max \left(X_1, X_2, X_3\right)$.
（1）求 $T$ 的概率密度；
（2）确定 $a$ ，使得 $a T$ 为 $\theta$ 的无偏估计。