### 2015年全国硕士研究生招生统一考试数学试题及详细参考解答(数三)

$\text{A.}$ 若 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=a$ ，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{2 n}=\lim _{n \rightarrow \infty} x_{2 n+1}=a$ $\text{B.}$ 若 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{2 n}=\lim _{n \rightarrow \infty} x_{2 n+1}=a$ ，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=a$ $\text{C.}$ 若 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=a$ ，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{3 n}=\lim _{n \rightarrow \infty} x_{3 n+1}=a$ $\text{D.}$ 若 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{3 n}=\lim _{n \rightarrow \infty} x_{3 n+1}=a$ ，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=a$

$\text{A.}$ 0 $\text{B.}$ 1 $\text{C.}$ 2 $\text{D.}$ 3

$\text{A.}$ $\int_0^{\frac{\pi}{4}} \mathrm{~d} \theta \int_0^{2 \cos \theta} f( r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{~d} r +\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_0^{2 \sin \theta} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{~d} r$ $\text{B.}$ $\int_0^{\frac{\pi}{4}} \mathrm{~d} \theta \int_0^{2 \sin \theta} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{~d} r \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_0^{2 \cos \theta} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{~d} r$ $\text{C.}$ $$+\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_0^{2 \cos \theta} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{~d} r$$

$\text{A.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{3^n}$ $\text{B.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} \ln \left(1+\frac{1}{n}\right)$ $\text{C.}$ $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^n+1}{\ln n}$ $\text{D.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^n}$

$\text{A.}$ $a \notin \Omega, d \notin \Omega$ $\text{B.}$ $a \notin \Omega, d \in \Omega$ $\text{C.}$ $a \in \Omega, d \notin \Omega$ $\text{D.}$ $a \in \Omega, d \in \Omega$

$\text{A.}$ $2 y_1^2-y_2^2+y_3^2$ $\text{B.}$ $2 y_1^2+y_2^2-y_3^2$ $\text{C.}$ $2 y_1^2-y_2^2-y_3^2$ $\text{D.}$ $2 y_1^2+y_2^2+y_3^2$

$\text{A.}$ $P(A B) \leq P(A) P(B)$ $\text{B.}$ $P(A B) \geq P(A) P(B)$ $\text{C.}$ $P(A B) \leq \frac{P(A)+P(B)}{2}$ $\text{D.}$ $P(A B) \geq \frac{P(A)+P(B)}{2}$

$\text{A.}$ $(m-1) n \theta(1-\theta)$ $\text{B.}$ $m(n-1) \theta(1-\theta)$ $\text{C.}$ $(m-1)(n-1) \theta(1-\theta)$ $\text{D.}$ $m n \theta(1-\theta)$

$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \cos x}{x^2}=$

$$D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq 2, y \geq x^2\right\} .$$

(1) 证明定价模型为 $P=\frac{M C}{1-\frac{1}{\eta}}$ ；
(2) 若该商品的成本函数为 $C(Q)=1600+Q^2$ ，需求函数为 $Q=40-P$ ，试由（I）中的定价模型确定此商品的价格。

(1) 设函数 $u(x), v(x)$ 可导，利用导数定义证明
$$[u(x) v(x)]^{\prime}=u^{\prime}(x) v(x)+u(x) v^{\prime}(x) .$$
(2) 设函数 $u_1(x), u_2(x), \cdots, u_n(x)$ 可导，
$$f(x)=u_1(x) u_2(x) \cdots u_n(x) ，$$

(1) 求 $a$ 的值;
(2) 若矩阵 $X$ 满足 $X-X A^2-A X+A X A^2=E$ ，其中 $E$ 为 3 阶单位矩阵，求 $X$ 。

(1) 求 $a, b$ 的值；
(2) 求可逆矩阵 $P$ ，使得 $P^{-1} A P$ 为对角矩阵.

$$f(x)=\left\{\begin{array}{cc} 2^{-x} \ln 2, & x>0 \\ 0, & x \leq 0 \end{array}\right.$$

(1) 求 $\boldsymbol{Y}$ 的概率分布;
(2) 求 $E(Y)$.

$$f(x ; \theta)=\left\{\begin{array}{cl} \frac{1}{1-\theta}, & \theta \leq x \leq 1 \\ 0 & , \text { 其他 } \end{array}\right.$$

(1) 求 $\theta$ 的矩估计量;
(2) 求 $\theta$ 的最大似然估计量.

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