单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
设 $\left\{x_n\right\}$ 是数列，下列命题中不正确的是
$\text{A.}$ 若 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=a$ ，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{2 n}=\lim _{n \rightarrow \infty} x_{2 n+1}=a$
$\text{B.}$ 若 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{2 n}=\lim _{n \rightarrow \infty} x_{2 n+1}=a$ ，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=a$
$\text{C.}$ 若 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=a$ ，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{3 n}=\lim _{n \rightarrow \infty} x_{3 n+1}=a$
$\text{D.}$ 若 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{3 n}=\lim _{n \rightarrow \infty} x_{3 n+1}=a$ ，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=a$
设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 连续，其二阶导函数 $f^{\prime \prime}(x)$ 的图形如下图所示，则曲线 $y=f(x)$ 的拐点个数为
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
设 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq 2 x, x^2+y^2 \leq 2 y\right\}$ ，函数 $f(x, y)$ 在 $D$ 上连续，则 $\iint_D f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=(\quad)$
$\text{A.}$ $\int_0^{\frac{\pi}{4}} \mathrm{~d} \theta \int_0^{2 \cos \theta} f( r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{~d} r +\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_0^{2 \sin \theta} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{~d} r $
$\text{B.}$ $ \int_0^{\frac{\pi}{4}} \mathrm{~d} \theta \int_0^{2 \sin \theta} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{~d} r \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_0^{2 \cos \theta} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{~d} r $
$\text{C.}$ $$
+\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_0^{2 \cos \theta} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{~d} r
$$
下列级数中发散的是
$\text{A.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{3^n}$
$\text{B.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} \ln \left(1+\frac{1}{n}\right)$
$\text{C.}$ $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^n+1}{\ln n}$
$\text{D.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^n}$
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & a \\ 1 & 4 & a^2\end{array}\right) ， b=\left(\begin{array}{c}1 \\ d \\ d^2\end{array}\right)$ ，若集合 $\Omega=\{1,2\}$ ，则线性方程组 $\boldsymbol{A x}=b$ 有无穷多个解的充分必要条件为
$\text{A.}$ $a \notin \Omega, d \notin \Omega$
$\text{B.}$ $a \notin \Omega, d \in \Omega$
$\text{C.}$ $a \in \Omega, d \notin \Omega$
$\text{D.}$ $a \in \Omega, d \in \Omega$
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 在正交变换 $x=P y$ 下的标准形为 $2 y_1^2+y_2^2-y_3^2$ ，其中 $P=\left(e_1, e_2, e_3\right)$ ，若 $Q=\left(e_1,-e_3, e_2\right)$ ，则 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 在正交变换 $x=Q y$ 下的标准形为
$\text{A.}$ $2 y_1^2-y_2^2+y_3^2$
$\text{B.}$ $2 y_1^2+y_2^2-y_3^2$
$\text{C.}$ $2 y_1^2-y_2^2-y_3^2$
$\text{D.}$ $2 y_1^2+y_2^2+y_3^2$
若 $A, B$ 为任意两个随机事件，则
$\text{A.}$ $P(A B) \leq P(A) P(B)$
$\text{B.}$ $P(A B) \geq P(A) P(B)$
$\text{C.}$ $P(A B) \leq \frac{P(A)+P(B)}{2}$
$\text{D.}$ $P(A B) \geq \frac{P(A)+P(B)}{2}$
设总体 $X \sim B(m, \theta) ， X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自该总体的简单随机样本， $\bar{X}$ 为样本均值，则 $E\left[\sum_{i=1}^n\left(\boldsymbol{X}_i-\overline{\boldsymbol{X}}\right)^2\right]=(\quad)$
$\text{A.}$ $(m-1) n \theta(1-\theta)$
$\text{B.}$ $m(n-1) \theta(1-\theta)$
$\text{C.}$ $(m-1)(n-1) \theta(1-\theta)$
$\text{D.}$ $m n \theta(1-\theta)$
填空题 （共 15 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \cos x}{x^2}=$
设函数 $f(x)$ 连续， $\varphi(x)=\int_0^{x^2} x f(t) \mathrm{d} t$. 若 $\varphi(1)=1$ ， $\varphi^{\prime}(1)=5$ ，则 $f(1)=$
若函数 $z=x(x, y)$ 由方程 $e^{x+2 y+3 z}+x y z=1$ 确定, 则 $\left.\mathrm{d} z\right|_{(0,0)}=$
设函数 $y=y(x)$ 是微分方程 $y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=0$ 的解，且在 $x=0$ 处取得极值 3 ，则 $y(x)=$
设 3 阶矩阵 $A$ 的特征值为 $2,-2,1 ， B=A^2-A+E$ ，其中 $E$ 为 3 阶单位矩阵，则行列式 $|B|=$
设二维随机变量 $(X, Y)$ 服从正态分布 $N(1,0 ; 1,1 ; 0)$ ，则 $P\{X Y-Y < 0\}=$
设函数 $f(x)=x+a \ln (1+x)+b x \sin x, g(x)=k x^3$ ，若 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在 $x \rightarrow 0$ 时是等价无穷小，求 $a, b, k$ 值.
计算二重积分 $\iint_D x(x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中
$$
D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq 2, y \geq x^2\right\} .
$$
为了实现利润的最大化，厂商需要对某商品确定其定价模 $\eta$ 为需求弹性 $(\boldsymbol{\eta}>0)$.
(1) 证明定价模型为 $P=\frac{M C}{1-\frac{1}{\eta}}$ ；
(2) 若该商品的成本函数为 $C(Q)=1600+Q^2$ ，需求函数为 $Q=40-P$ ，试由（I）中的定价模型确定此商品的价格。
设函数 $f(x)$ 在定义域 $I$ 上的导数大于零，若对任意的 $x_0 \in I$ ，曲线 $y=f(x)$ 在点 $\left(x_0, f\left(x_0\right)\right)$ 处切线与直线 $x=x_0$ 及 $x$ 轴所围成的区域的面积恒为 4 ，且 $f(0)=2$ ，求 $f(x)$ 的表达式。
(1) 设函数 $u(x), v(x)$ 可导，利用导数定义证明
$$
[u(x) v(x)]^{\prime}=u^{\prime}(x) v(x)+u(x) v^{\prime}(x) .
$$
(2) 设函数 $u_1(x), u_2(x), \cdots, u_n(x)$ 可导，
$$
f(x)=u_1(x) u_2(x) \cdots u_n(x) ，
$$
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}a & 1 & 0 \\ 1 & a & -1 \\ 0 & 1 & a\end{array}\right)$ 且 $A^3=0$ 。
(1) 求 $a$ 的值;
(2) 若矩阵 $X$ 满足 $X-X A^2-A X+A X A^2=E$ ，其中 $E$ 为 3 阶单位矩阵，求 $X$ 。
设 $A=\left(\begin{array}{rrr}0 & 2 & -3 \\ -1 & 3 & -3 \\ 1 & -2 & a\end{array}\right)$ 相似于矩阵 $B=\left(\begin{array}{ccc}1 & -2 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 3 & 1\end{array}\right)$.
(1) 求 $a, b$ 的值；
(2) 求可逆矩阵 $P$ ，使得 $P^{-1} A P$ 为对角矩阵.
设随机变量 $\boldsymbol{X}$ 的概率密度为
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{cc}
2^{-x} \ln 2, & x>0 \\
0, & x \leq 0
\end{array}\right.
$$
对 $X$ 进行独立重复的观测，直到第 2 个大于 3 的观测值出现时停止，记 $\boldsymbol{Y}$ 为观测次数。
(1) 求 $\boldsymbol{Y}$ 的概率分布;
(2) 求 $E(Y)$.
设总体 $X$ 的概率密度为
$$
f(x ; \theta)=\left\{\begin{array}{cl}
\frac{1}{1-\theta}, & \theta \leq x \leq 1 \\
0 & , \text { 其他 }
\end{array}\right.
$$
其中 $\theta$ 为未知参数， $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自该总体的简单随机样本。
(1) 求 $\theta$ 的矩估计量;
(2) 求 $\theta$ 的最大似然估计量.