### 2015年全国硕士研究生招生统一考试数学试题及详细参考解答(数一)

$\text{A.}$ 0 $\text{B.}$ 1 $\text{C.}$ 2 $\text{D.}$ 3

$\text{A.}$ $a=-3, b=2, c=-1$ $\text{B.}$ $a=3, b=2, c=-1$ $\text{C.}$ $a=-3, b=2, c=1$ $\text{D.}$ $a=3, b=2, c=1$

$\text{A.}$ 收敛点，收敛点 $\text{B.}$ 收敛点，发散点 $\text{C.}$ 发散点, 收敛点 $\text{D.}$ 发散点，发散点

$$\iint_D f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=(\quad)$$
$\text{A.}$ $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \mathrm{~d} \theta \int_{\frac{1}{2 \sin 2 \theta}}^{\frac{1}{\sin 2 \theta}} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{~d} r$ $\text{B.}$ $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \mathrm{~d} \theta \int_{\frac{1}{\sqrt{2 \sin 2 \theta}}}^{\frac{1}{\sqrt{\sin 2 \theta}}} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{~d} r$ $\text{C.}$ $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \mathrm{~d} \theta \int_{\frac{1}{2 \sin 2 \theta}}^{\frac{1}{\sin 2 \theta}} f(r \cos \theta, r \sin \theta) \mathrm{d} r$ $\text{D.}$ $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \mathrm{~d} \theta \int_{\frac{1}{\sqrt{2 \sin 2 \theta}}}^{\frac{1}{\sqrt{\sin 2 \theta}}} f(r \cos \theta, r \sin \theta) \mathrm{d} r$

$\text{A.}$ $a \notin \Omega, d \notin \Omega$ $\text{B.}$ $a \notin \Omega, d \in \Omega$ $\text{C.}$ $a \in \Omega, d \notin \Omega$ $\text{D.}$ $a \in \Omega, d \in \Omega$

$\text{A.}$ $2 y_1^2-y_2^2+y_3^2$ $\text{B.}$ $2 y_1^2+y_2^2-y_3^2$ $\text{C.}$ $2 y_1^2-y_2^2-y_3^2$ $\text{D.}$ $2 y_1^2+y_2^2+y_3^2$

$\text{A.}$ $P(A B) \leq P(A) P(B)$ $\text{B.}$ $P(A B) \geq P(A) P(B)$ $\text{C.}$ $P(A B) \leq \frac{P(A)+P(B)}{2}$ $\text{D.}$ $P(A B) \geq \frac{P(A)+P(B)}{2}$

$\text{A.}$ -3 $\text{B.}$ 3 $\text{C.}$ -5 $\text{D.}$ 5

$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \cos x}{x^2}=$

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(\frac{\sin x}{1+\cos x}+|x|\right) \mathrm{d} x=$

$n$ 阶行列式 $\left|\begin{array}{ccccc}2 & 0 & \cdots & 0 & 2 \\ -1 & 2 & \cdots & 0 & 2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 2 & 2 \\ 0 & 0 & \cdots & -1 & 2\end{array}\right|=$

(1) 设函数 $u(x), v(x)$ 可导，利用导数定义证明
$$[u(x) v(x)]^{\prime}=u^{\prime}(x) v(x)+u(x) v^{\prime}(x) .$$
(2) 设函数 $u_1(x), u_2(x), \cdots, u_n(x)$ 可导，
$$f(x)=u_1(x) u_2(x) \cdots \cdots u_n(x) ，$$

$I=\int_L(y+z) \mathrm{d} x+\left(z^2-x^2+y\right) \mathrm{d} y+\left(x^2+y^2\right) \mathrm{d} z$

$$\beta_1=2 \alpha_1+2 k \alpha_3, \beta_2=2 \alpha_2, \beta_3=\alpha_1+(k+1) \alpha_3 \text {. }$$
（1）证明向量组 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 是 $R^3$ 的一个基；
（2）当 $k$ 为何值时，存在非零向量 $\xi$ 在基 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 与基 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 下的坐标相同，并求出所有的 $\xi$.

(1) 求 $a, b$ 的值;
(2) 求可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ ，使得 $P^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}$ 为对角矩阵.

$$f(x)=\left\{\begin{array}{cc} 2^{-x} \ln 2, & x>0 \\ 0, & x \leq 0 \end{array}\right.$$

(1) 求 $\boldsymbol{Y}$ 的概率分布;
(2) 求 $E(Y)$.

$$f(x ; \theta)=\left\{\begin{array}{cc} \frac{1}{1-\theta}, & \theta \leq x \leq 1 \\ 0 & , \text { 其他 } \end{array}\right.$$

(1) 求 $\theta$ 的矩估计量;
(2) 求 $\theta$ 的最大似然估计量.

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