解答题 （共 3 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $M$ 是正整数, $f(x)=x^3+a x^2+b x+c$ 是整系数多项式, 且 $-M \leq$ $a, b, c \leq M$. 已知 $x_1, x_2$ 是 $f(x)$ 的两个不同复根, 求证:
$$
\left|x_1-x_2\right|>\frac{1}{M^2+3 M+1} .
$$
初始时, 黑板上写有一个数 1 .
第1步操作为：将 1 擦掉，并在黑板上写上两个和为 1 的非负实数，记其中的最小者为 $L_2$ 。
对 $k \geq 2$, 第 $k$ 步操作为: 任意擦掉黑板上的一个数, 并在黑板上写上两个和为刚擦掉的数的非负实数, 记此时黑板上 $k+1$ 个数中的最小者为 $L_{k+1}$.求 $\sum_{k=2}^{2024} L_k$ 的最大可能值.
设 $m$ 是正奇数, $a$ 是整数. 求证：对任意实数 $c$, 区间 $[c, c+\sqrt{m}]$ 中满足 $x^2 \equiv a(\bmod m)$ 的整数 $x$ 的个数不超过 $2+\log _2 m$.