单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
极限 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left[\frac{x^2}{(x-a)(x+b)}\right]^x$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ $e$
$\text{C.}$ $e^{a-b}$
$\text{D.}$ $e^{b-a}$
设函数 $z=z(x, y)$ 由方程 $F\left(\frac{y}{x}, \frac{z}{x}\right)=0$ 确定, 其中 $F$ 为可微函数, 且 $F_2^{\prime} \neq 0$, 则 $x \frac{\partial z}{\partial x}+y \frac{\partial z}{\partial y}=$
$\text{A.}$ ${x}$
$\text{B.}$ $z$
$\text{C.}$ $-x$
$\text{D.}$ $-z$
设 $m, n$ 为正整数，则反常积分 $\int_0^1 \frac{\sqrt[m]{\ln ^2(1-x)}}{\sqrt[n]{x}} \mathrm{~d} x$ 的收敛性
$\text{A.}$ 仅与 $m$ 取值有关
$\text{B.}$ 仅与 $\boldsymbol{n}$ 取值有关
$\text{C.}$ 与 $m, n$ 取值都有关
$\text{D.}$ 与 $m, n$ 取值都无关
$\lim _{x \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \frac{n}{(n+i)\left(n^2+j^2\right)}=$
$\text{A.}$ $\int_0^1 \mathrm{~d} x \int_0^x \frac{1}{(1+x)\left(1+y^2\right)} \mathrm{d} y$
$\text{B.}$ $\int_0^1 \mathrm{~d} x \int_0^x \frac{1}{(1+x)(1+y)} \mathrm{d} y$
$\text{C.}$ $\int_0^1 \mathrm{~d} x \int_0^1 \frac{1}{(1+x)(1+y)} \mathrm{d} y$
$\text{D.}$ $\int_0^1 d x \int_0^1 \frac{1}{(1+x)\left(1+y^2\right)} \mathrm{d} y$
设 $A$ 为 $m \times n$ 型矩阵， $B$ 为 $n \times m$ 型矩阵， $E$ 为 $m$ 阶单位矩阵. 若 $A B=E$ ，则
$\text{A.}$ 秩 $r(A)=m$ ，秩 $r(B)=m$
$\text{B.}$ 秩 $r(A)=m$ ，秩 $r(B)=n$
$\text{C.}$ 秩 $r(A)=n$ ，秩 $r(B)=m$
$\text{D.}$ 秩 $r(A)=n$ ，秩 $r(B)=n$
设 $A$ 为 4 阶实对称矩阵，且 $A^2+A=O$ ，若 $A$ 的秩为 3，则 $\boldsymbol{A}$ 相似于
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{llll}1 & & & \\ & 1 & & \\ & & 1 & \\ & & & 0\end{array}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{cccc}1 & & & \\ & 1 & & \\ & & -1 & \\ & & & 0\end{array}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{llll}1 & & & \\ & -1 & & \\ & & -1 & \\ & & & 0\end{array}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{llll}-1 & & & \\ & -1 & & \\ & & -1 & \\ & & & 0\end{array}\right)$
设随机变量 $\boldsymbol{X}$ 的分布函数
$$
F(x)=\left\{\begin{array}{cc}
0 & x < 0 \\
\frac{1}{2} & 0 \leq x < 1 \\
1-e^{-x} & x \geq 1
\end{array}\right.
$$
则 $P\{X=1\}=$
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}-e^{-1}$
$\text{D.}$ $1-e^{-1}$
设 $f_1(x)$ 为标准正态分布的概率密度， $f_2(x)$ 为 $[-1,3]$ 上均匀分布的概率密度，若
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{l}
a f_1(x), x \leq 0 \\
b f_2(x), x>0
\end{array}(a>0, b>0)\right.
$$
为概率密度，则 $a, b$ 应满足
$\text{A.}$ $2 a+3 b=4$
$\text{B.}$ $3 a+2 b=4$
$\text{C.}$ $a+b=1$
$\text{D.}$ $a+b=2$
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $\left\{\begin{array}{l}x=\mathrm{e}^{-t}, \\ y=\int_0^t \ln \left(1+u^2\right) \mathrm{d} u\end{array}\right.$ ，求 $\left.\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}\right|_{t=0}=$
$\int_0^{\pi^2} \sqrt{x} \cos \sqrt{x} \mathrm{~d} x=$
已知曲线 $L$ 的方程为 $y=1-|x|(x \in[-1,1])$ ，起点是 $(-1,0)$ ，终点是 $(1,0)$ ，则曲线积分
$$
\int_L x y \mathrm{~d} x+x^2 \mathrm{~d} y=
$$
设 $\Omega=\left\{(x, y, z) \mid x^2+y^2 \leq z \leq 1\right\}$ ，则 $\Omega$ 的形心的坚坐标 $\bar{z}=$
设 $\alpha_1=(1,2,-1,0)^T, \alpha_2=(1,1,0,2)^T, \alpha_3=(2,1$, $1, a)^T$ ，若由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 形成的向量空间的维数是 2，则 $a=$
设随机变量 $X$ 概率分布为 $P\{X=k\}=\frac{C}{k!}(k=0,1$, $2, \cdots)$ ，则 $E X^2=$
解答题 （共 10 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求微分方程 $y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=2 x e^x$ 的通解.
求函数 $f(x)=\int_1^{x^2}\left(x^2-t\right) e^{-t^2} \mathrm{~d} t$ 的单调区间与极值.
(1) 比较 $\int_0^1|\ln t|[\ln (1+t)]^n \mathrm{~d} t$ 与 $\int_0^1 t^n|\ln t| \mathrm{d} t$ $(n=1,2, \cdots)$ 的大小，说明理由.
（2）记 $u_n=\int_0^1|\ln t|[\ln (1+t)]^n \mathrm{~d} t(n=1,2, \cdots)$ ，求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} u_n$.
求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{2 n-1} x^{2 n}$ 的收敛域及和函数.
设 $P$ 为椭球面 $S: x^2+y^2+z^2-y z=1$ 上的动点，若 $S$ 在点 $P$ 处的切平面与 $x O y$ 面垂直，求点 $P$ 的轨迹 $C$. 并计算曲面积分 $I=\iint_{\Sigma} \frac{(x+\sqrt{3})|y-2 z|}{\sqrt{4+y^2+z^2-4 y z}} \mathrm{~d} S$ ，其中 $\Sigma$ 是椭球面 $S$ 位于曲线 $C$ 上方的部分.
设 $\mathrm{A}=\left(\begin{array}{ccc}\lambda & 1 & 1 \\ 0 & \lambda-1 & 0 \\ 1 & 1 & \lambda\end{array}\right), b=\left(\begin{array}{l}a \\ 1 \\ 1\end{array}\right)$. 已知线性方程组 $A x=b$ 存在两个不同的解.
（1）求 $\lambda, a$.
（2）求方程组 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b}$ 的通解.
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x^T A x$ 在正交变换 $x=\mathrm{Q} y$ 下的标准形为 $y_1^2+y_2^2$ ，且 $Q$ 的第三列为 $\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, 0, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^T$.
(1) 求 $A$;
(2) 证明 $\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E}$ 为正定矩阵，其中 $\boldsymbol{E}$ 为 3 阶单位矩阵.
设二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度为
$$
\begin{gathered}
f(x, y)=A \mathrm{e}^{-2 x^2+2 x y-y^2}, \\
-\infty < x < +\infty,-\infty < y < +\infty
\end{gathered}
$$
求常数及 $A$ 及条件概率密度 $f_{Y \mid X}(y \mid x)$.
设总体 $X$ 的概率分布为
其中 $\theta \in(0,1)$ 未知，以 $N_i$ 来表示来自总体 $X$ 的简单随机样本(样本容量为 $n$ )中等于 $i$ 的个数 $(i=1,2,3)$ ，试求常数 $a_1$, $a_2, a_3$ 使 $T=\sum_{i=1}^3 a_i N_i$ 为 $\theta$ 的无偏估计量，并求 $T$ 的方差.
已知 $\mathrm{a}>0, \mathrm{a} \neq 1$, 解不等式 $\log a(4+3 x-x 2)-\log a(2 x-1)>\log a 2$.