单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
当 $x \rightarrow 0$ 时, $f(x)=x-\sin a x$ 与 $g(x)=x^2 \ln (1-b x)$是等价无穷小量，则
$\text{A.}$ $a=1, b=-1 / 6$
$\text{B.}$ $a=1, b=1 / 6$
$\text{C.}$ $a=-1, b=-1 / 6$
$\text{D.}$ $a=-1, b=1 / 6$
如图所示，正方形 $\{(x, y) \| x|\leq 1| y \mid, \leq 1\}$ 被其对角线划分为四个区域 $D_k(k=1,2,3,4) ， I_k=\iint_{D_k} y \cos x \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，则 $\max _{1 \leq k \leq 4}\left\{I_k\right\}=$
$\text{A.}$ $I_1$
$\text{B.}$ $I_2$
$\text{C.}$ $I_3$
$\text{D.}$ $I_4$
设有两个数列 $\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\}$ ，若 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n=0$ ，则
$\text{A.}$ 当 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 收敛时， $\sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n$ 收敛
$\text{B.}$ 当 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 发散时， $\sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n$ 发散
$\text{C.}$ 当 $\sum_{n=1}^{\infty}\left|b_n\right|$ 收敛时， $\sum_{n=1}^{\infty} a_n^2 b_n^2$ 收敛
$\text{D.}$ 当 $\sum_{n=1}^{\infty}\left|b_n\right|$ 发散时， $\sum_{n=1}^{\infty} a_n^2 b_n^2$ 发散
设 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 是 3 维向量空间 $\mathbb{R}^3$ 的一组基，则由基 $\alpha_1, \frac{1}{2} \alpha_2, \frac{1}{3} \alpha_3$ 到基 $\alpha_1+\alpha_2, \alpha_2+\alpha_3, \alpha_3+\alpha_1$ 的过渡矩阵为
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 3\end{array}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 3 \\ 1 & 0 & 3\end{array}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{ccc}1 / 2 & 1 / 4 & -1 / 6 \\ -1 / 2 & 1 / 4 & 1 / 6 \\ 1 / 2 & -1 / 4 & 1 / 6\end{array}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{ccc}
1 / 2 & -1 / 2 & 1 / 2 \\
1 / 4 & 1 / 4 & -1 / 4 \\
-1 / 6 & 1 / 6 & 1 / 6
\end{array}\right)$
设 $A, B$ 均为 2 阶矩阵， $A^*, B^*$ 分别为 $A, B$ 的伴随矩阵。若 $|A|=2,|B|=3$ ，则分块矩阵 $\left(\begin{array}{ll}O & A \\ B & O\end{array}\right)$ 的伴随矩阵为
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{cc}O & 3 B^* \\ 2 A^* & O\end{array}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{cc}O & 2 B^* \\ 3 A^* & O\end{array}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{cc}O & 3 A^* \\ 2 B^* & O\end{array}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{cc}O & 2 A^* \\ 3 B^* & O\end{array}\right)$
设随机变量 $\boldsymbol{X}$ 的分布函数为
$$
F(x)=0.3 \Phi(x)+0.7 \Phi\left(\frac{x-1}{2}\right) ，
$$
其中 $\Phi(x)$ 为标准正态分布的分布函数，则 $E(X)=$
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 0.3
$\text{C.}$ 0.7
$\text{D.}$ 1
设随机变量 $\boldsymbol{X}$ 与 $\boldsymbol{Y}$ 相互独立，且 $\boldsymbol{X}$ 服从标准正态分布 $N(0,1) ， Y$ 的概率分布为
$$
P\{Y=0\}=P\{Y=1\}=\frac{1}{2} .
$$
记 $F_z(z)$ 为随机变量 $Z=X Y$ 的分布函数，则函数 $F_z(z)$ 的间断点个数为
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设函数 $f(u, v)$ 具有二阶连续偏导数， $z=f(x, x y)$ ，则 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}=$
若二阶常系数线性齐次微分方程 $y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=0$ 的通解为 $y=\left(C_1+C_2 x\right) e^x$ ，则非齐次方程
$$
y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=x
$$
满足条件 $y(0)=2, y^{\prime}(0)=0$ 的解为 $y=$
已知曲线 $L: y=x^2(0 \leq x \leq \sqrt{2})$ ，则 $\int_L x \mathrm{~d} s=$
设 $\Omega=\left\{(x, y, z) \mid x^2+y^2+z^2 \leq 1\right\}$ ，则 $\iiint_{\Omega} z^2 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=$
若 3 维列向量 $\alpha, \beta$ 满足 $\alpha^T \beta=2$ ，其中 $\alpha^T$ 为 $\alpha$ 的转置，则矩阵 $\boldsymbol{\beta a}{ }^T$ 的非零特征值为
设 $X_1, X_3, \cdots, X_m$ 为来自二项分布总体 $B(n, p)$ 的简单随机样本， $\bar{X}$ 和 $S^2$ 分别为样本均值和样本方差. 若 $\bar{X}+k S^2$为 $n p^2$ 的无偏估计量，则 $k=$
解答题 （共 9 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求二元函数 $f(x, y)=x^2\left(2+y^2\right)+y \ln y$ 的极值.
设 $a_n$ 为曲线 $y=x^n$ 与 $y=x^{n+1}(n=1,2, \cdots)$ 所围区域的面积，记 $S_1=\sum_{n=1}^{\infty} a_n ， S_2=\sum_{n=1}^{\infty} a_{2 n-1}$ ，求 $S_1$ 与 $S_2$ 的值
椭球面 $S_1$ 是椭圆 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$ 绕 $x$ 轴旋转而成，圆锥面 $S_2$ 是由过点 $(4,0)$ 且与椭圆 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$ 相切的直线绕 $x$ 轴旋转而成.
(1) 求 $S_1$ 及 $S_2$ 的方程;
(2) 求 $S_1$ 与 $S_2$ 之间的立体体积.
(1) 证明拉格朗日中值定理; 若函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，则存在 $\xi \in(a, b)$ ，使得
$$
f(b)-f(a)=f^{\prime}(\xi)(b-a) ;
$$
（2）证明: 若函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续，在 $(0, \delta)(\delta>0)$ 内可导，且 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f^{\prime}(x)=A$ ，则 $f_{+}^{\prime}(0)$ 存在，且 $f_{+}^{\prime}(0)=A$.
计算曲面积分 $I=\oint_{\Sigma} \frac{x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^{\frac{3}{2}}}$ ，其中 $\Sigma$ 是曲面 $2 x^2+2 y^2+z^2=4$ 的外侧.
设 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 \\ 0 & -4 & -2\end{array}\right) ， \xi_1=\left(\begin{array}{c}-1 \\ 1 \\ -2\end{array}\right)$.
(1) 求满足 $A \xi_2=\xi_1, A^2 \xi_3=\xi_1$ 的所有向量 $\xi_2, \xi_3$ ；
(2) 对(1)中的任意向量 $\xi_2, \xi_3$ ，证明 $\xi_1, \xi_2, \xi_3$ 线性无关。
设二次型
$$
f\left(x_1, x_2, x_3\right)=a x_1^2+a x_2^2+(a-1) x_3^2+2 x_1 x_3-2 x_2 x_3
$$
(1) 求二次型 $f$ 的矩阵的所有特征值;
(2) 若二次型 $f$ 的规范形为 $y_1^2+y_2^2$ ，求 $a$ 的值.
袋中有 1 个红球、 2 个黑球与 3 个白球: 现有放回地从袋中取两次，每次取一个球. 以 $\boldsymbol{X} ， \boldsymbol{Y}, Z$ 分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数.
(1) 求 $P\{X=1 \mid Z=0\}$ ；
(2) 求二维随机变量 $(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y})$ 的概率分布.
设总体 $X$ 的概率密度为
$$
f(x)= \begin{cases}\lambda^2 x e^{-\lambda x} & , x>0 \\ 0 & , \text { 其他 }\end{cases}
$$
其中参数 $\lambda(\lambda>0)$ 未知， $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本.
（1）求参数 $\boldsymbol{\lambda}$ 的矩估计量；
(2) 求参数 $\boldsymbol{\lambda}$ 的最大似然估计量.