单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
设 $y=f(x)$ 具有二阶导数，且 $f^{\prime}(x)>0, f^{\prime \prime}(x)>0, \Delta x$为自变量 $x$ 在 $x_0$ 处的增量, $\Delta y$ 与 $\mathrm{d} y$ 分别为 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处对应的增量与微分，若 $\Delta x>0$ ，则
$\text{A.}$ $0 < \mathrm{d} y < \Delta y$
$\text{B.}$ $0 < \Delta y < \mathrm{d} y$
$\text{C.}$ $\Delta y < \mathrm{d} y < 0$
$\text{D.}$ $\mathrm{d} y < \Delta y < 0$
设 $f(x)$ 是奇函数，除 $x=0$ 外处处连续， $x=0$ 是其第一类间断点，则 $\int_0^x f(t) \mathrm{d} t$ 是
$\text{A.}$ 连续的奇函数
$\text{B.}$ 连续的偶函数
$\text{C.}$ 在 $\boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 间断的奇函数
$\text{D.}$ 在 $\boldsymbol{x}=0$ 间断的偶函数
设函数 $g(x)$ 可微， $h(x)=e^{1+g(x)}, h^{\prime}(1)=1, g^{\prime}(1)=2$ ，则 $g(1)$ 等于
$\text{A.}$ $\ln 3-1$
$\text{B.}$ $-\ln 3-1$
$\text{C.}$ $-\ln 2-1$
$\text{D.}$ $\ln 2-1$
函数 $y=C_1 e^x+C_2 e^{-2 x}+x e^x$ 满足一个微分方程是
$\text{A.}$ $y^{\prime \prime}-y^{\prime}-2 y=3 x e^x$
$\text{B.}$ $y^{\prime \prime}-y^{\prime}-2 y=3 e^x$
$\text{C.}$ $y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=3 x e^x$
$\text{D.}$ $y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=3 e^x$
设 $f(x, y)$ 为连续函数，则 $\int_0^{\frac{\pi}{4}} \mathrm{~d} \theta \int_0^1 f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{~d} r$ 等于
$\text{A.}$ $\int_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \mathrm{~d} x \int_x^{\sqrt{1-x^2}} f(x, y) \mathrm{d} y$
$\text{B.}$ $\int_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \mathrm{~d} x \int_0^{\sqrt{1-x^2}} f(x, y) \mathrm{d} y$
$\text{C.}$ $\int_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \mathrm{~d} y \int_y^{\sqrt{1-y^2}} f(x, y) \mathrm{d} x$
$\text{D.}$ $\int_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \mathrm{~d} y \int_0^{\sqrt{1-y^2}} f(x, y) \mathrm{d} x$
设 $f(x, y)$ 与 $\varphi(x, y)$ 均为可微函数，且 $\varphi_y^{\prime}(x, y) \neq 0$ ，已知 $\left(x_0, y_0\right)$ 是 $f(x, y)$ 在约束条件 $\varphi(x, y)=0$ 下的一个极值点，下列选项正确的是
$\text{A.}$ 若 $f_x^{\prime}\left(x_0, y_0\right)=0$ ，则 $f_y^{\prime}\left(x_0, y_0\right)=0$
$\text{B.}$ 若 $f_x^{\prime}\left(x_0, y_0\right)=0$ ，则 $f_y^{\prime}\left(x_0, y_0\right) \neq 0$
$\text{C.}$ 若 $f_x^{\prime}\left(x_0, y_0\right) \neq 0$ ，则 $f_y^{\prime}\left(x_0, y_0\right)=0$
$\text{D.}$ 若 $f_x^{\prime}\left(x_0, y_0\right) \neq 0$ ，则 $f_y^{\prime}\left(x_0, y_0\right) \neq 0$
设 $a_1, a_2, \cdots, a_s$ 均为 $n$ 维列向量， $A$ 是 $m>n$ 矩阵，下列选项正确的是
$\text{A.}$ 若 $a_1, a_2, \cdots, a_s$ 线性相关，则 ${A a}, A a_2, \cdots, A a_s$ 线性相关.
$\text{B.}$ 若 $a_1, a_2, \cdots, a_s$ 线性相关，则 $A a_1, A a_2, \cdots, A a_s$ 线性无关.
$\text{C.}$ 若 $a_1, a_2, \cdots, a_s$ 线性无关，则 $A a_1, A a_2, \cdots, A a_s$ 线性相关.
$\text{D.}$ 若 $a_1, a_2, \cdots, a_s$ 线性无关，则 $A a_1, A a_2, \cdots, A a_s$ 线性无关.
设 $A$ 为三阶矩阵， 将 $A$ 的第 2 行加到第 1 行得 $B$ ，再将 $B$的第 1 列的 -1 倍加到第 2 列得 $C$ ，记 $P=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ ，则
$\text{A.}$ $C=P^{-1} A P$
$\text{B.}$ $C=P A P^{-1}$
$\text{C.}$ ${C}={P}^T {A P}$
$\text{D.}$ $C=P A P^T$
解答题 （共 15 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
曲线 $y=\frac{x+4 \sin x}{5 x-2 \cos x}$ 的水平渐近线方程为
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{x^3} \int_0^x \sin t^2 \mathrm{~d} t, & x \neq 0 \\ a, & x=0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 处连续，则 $a=$
广义积分 $\int_0^{+\infty} \frac{x \mathrm{~d} x}{\left(1+x^2\right)^2}=$
微分方程 $y^{\prime}=\frac{y(1-x)}{x}$ 的通解是
设函数 $y=y(x)$ 由方程 $y=1-x e^y$ 确定，则 $\left.\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right|_{x=0}=$
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{cc}2 & 1 \\ -1 & 2\end{array}\right) ， E$ 为二阶单位矩阵，矩阵 $B$ 满足 $B A=B+2 E$ ，则 $|B|=$
试确定 $A, B, C$ 的常数值，使得
$$
e^x\left(1+B x+C x^2\right)=1+A x+o\left(x^3\right)
$$
其中 $o\left(x^3\right)$ 是当 $x \rightarrow 0$ 时比 $x^3$ 的高阶无穷小量.
求 $\int \frac{\arcsin e^x}{e^x} d x$.
设区域 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq 1, x \geq 0\right\}$ ，计算二重积分 $I=\iint_D \frac{1+x y}{1+x^2+y^2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$.
设数列 $\left\{x_n\right\}$ 满足
$$
0 < x_1 < \pi, x_{x+1}=\sin x_n(n=1,2, \cdots) \text {. }
$$
(1) 证明 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 存在，并求极限.
(2) 计算 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{x_{n+1}}{x_n}\right)^{\frac{1}{x_n^2}}$.
证明: 当 $0 < a < b < \pi$ 时 $b \sin b+2 \cos b+\pi b>a \sin a+2 \cos a+\pi a$.
设函数 $f(u)$ 在 $(0,+\infty)$ 内具有二阶导数， $z=f\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)$ 满足等式 $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=0$.
（1）验证 $f^{\prime \prime}(u)+\frac{f^{\prime}(u)}{u}=0$
（2）若 $f(1)=0, f^{\prime}(1)=1$ ，求函数 $f(u)$ 的表达式.
已知曲线 $L$ 的方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=t^2+1 \\ y=4 t-t^2\end{array} \quad(t \geq 0)\right.$.
(1) 讨论 $L$ 的凹凸性;
(2) 过点 $(-1,0) $引$ L$ 的切线，求切点 $\left(x_0, y_0\right)$ ，并写出切线的方程；
(3) 求此切线与 $L$ (对应于 $x \leq x_0$ 的部分) 及 $x$ 轴所围成的平面图形的面积.
已知非齐次线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}x_1+x_2+x_3+x_4=-1 \\ 4 x_1+3 x_2+5 x_3-x_4=-1 \text { ， } \\ a x_1+x_2+3 x_3+b x_4=1\end{array}\right.$
有三个线性无关的解.
(1) 证明方程组系数矩阵 $A$ 的秩 $r(A)=2$ ；
(2) 求 $a, b$ 的值及方程组的通解.
设三阶实对称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的各行元素之和均为 3 ，向量 $\alpha_1=(-1,2,-1)^T, \alpha_2=(0,-1,1)^T$ 是 线性方程 组 $A x=0$ 的两个解.
(1) 求 $\boldsymbol{A}$ 的特征值与特征向量
(2) 求正交矩阵 $Q$ 和对角矩阵 $\Lambda$ ，使得 $Q^T A Q =\Lambda$