单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
把 $x \rightarrow 0^{+}$时的无穷小量
$$
\alpha=\int_0^x \cos t^2 \mathrm{~d} t, \beta=\int_0^{x^2} \tan \sqrt{t} \mathrm{~d} t, \gamma=\int_0^{\sqrt{x}} \sin t^3 \mathrm{~d} t ，
$$
排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是
$\text{A.}$ $\alpha, \beta, \gamma$
$\text{B.}$ $\alpha, \gamma, \beta$
$\text{C.}$ $\beta, \alpha, \gamma$
$\text{D.}$ $\beta, \gamma, \alpha$
设函数 $f(x)$ 连续，且 $f^{\prime}(0)>0$, 则存在 $\delta>0$ ，使得
$\text{A.}$ $f(x)$ 在 $(0, \delta)$ 内单调增加
$\text{B.}$ $f(x)$ 在 $(-\delta, 0)$ 内单调减少
$\text{C.}$ 对任意的 $x \in(0, \delta)$ 有 $f(x)>f(0)$
$\text{D.}$ 对任意的 $x \in(-\delta, 0)$ 有 $f(x)>f(0)$
设 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 为正项级数，下列结论中正确的是
$\text{A.}$ 若 $\lim _{n \rightarrow \infty} n a_n=0$ ，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛.
$\text{B.}$ 若存在非零常数 $ \lambda$ 使得 $ \lim _{n \rightarrow \infty} n a_n=\lambda \text { ，则 } \sum_{n=1}^{\infty} a_n $ 发散
$\text{C.}$ 若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} n^2 a_n=0$
$\text{D.}$ 若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 发散, 则存在非零常数 $\boldsymbol{\lambda}$ ，使得
$\lim _{n \rightarrow \infty} n a_n=\lambda$
设 $f(x)$ 为连续函数， $F(t)=\int_1^t \mathrm{~d} y \int_y^t f(x) \mathrm{d} x$ ，则 $F^{\prime}(2)$ 等于
$\text{A.}$ $2 f(2)$
$\text{B.}$ $f(2)$
$\text{C.}$ $-f(2)$
$\text{D.}$ 0
设 $A$ 是 3 阶方阵，将 $A$ 的第 1 列与第 2 列交换得 $B$ ，再把 $B$ 的第 2 列加到第 3 列得 $C$ ，则满足 $A Q=C$ 的可逆矩阵 $Q$ 为
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1\end{array}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
设 $A, B$ 为满足 $A B=O$ 的任意两个非零矩阵，则必有
$\text{A.}$ $A$ 的列向量组线性相关， $B$ 的行向量组线性相关.
$\text{B.}$ $\boldsymbol{A}$ 的列向量组线性相关， $B$ 的列向量组线性相关.
$\text{C.}$ $A$ 的行向量组线性相关， $B$ 的行向量组线性相关.
$\text{D.}$ $A$ 的行向量组线性相关， $B$ 的列向量组线性相关.
设随机变量 $X$ 服从正态分布 $N(0,1)$ ，对给定的 $\alpha(0 < \alpha < 1)$ ，数 $u_\alpha$ 满足
$P\left\{X>u_\alpha\right\}=\alpha$ ，若 $P\{|X| < x\}=\alpha$ ，则 $x$ 等于
$\text{A.}$ $u_{\frac{\alpha}{2}}$
$\text{B.}$ $u_{1-\frac{\alpha}{2}}$
$\text{C.}$ $u_{\frac{1-\alpha}{2}}$
$\text{D.}$ $u_{1-\alpha}$
设随机变量 $X_1, X_2, \cdots, X_n(n>1)$ 独立同分布，且其方差为 $\sigma^2>0$ ，令 $Y=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$ ，则
$\text{A.}$ $\operatorname{Cov}\left(X_1, Y\right)=\frac{\sigma^2}{n}$
$\text{B.}$ $\operatorname{Cov}\left(X_1, Y\right)=\sigma^2$
$\text{C.}$ $D\left(X_1+Y\right)=\frac{n+2}{n} \sigma^2$
$\text{D.}$ $D\left(X_1-Y\right)=\frac{n+1}{n} \sigma^2$
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
曲线 $y=\ln x$ 上与直线 $x+y=1$ 垂直的切线方程为
已知 $f^{\prime}\left(e^x\right)=x e^{-x}$ ，且 $f(1)=0$ ，则 $f(x)=$
设 $L$ 为正向圆周 $x^2+y^2=2$ 在第一象限中的部分，则曲线积分 $\int_L x \mathrm{~d} y-2 y \mathrm{~d} x$ 的值为
欧拉方程 $x^2 \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}+4 x \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+2 y=0(x>0)$ 的通解为
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{lll}2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ ，矩阵 $B$ 满足
$$
A B A^*=2 B A^*+E,
$$
其中 $A^*$ 为 $A$ 的伴随矩阵， $E$ 是单位矩阵，则 $|B|=$
设随机变量 $\boldsymbol{X}$ 服从参数为 $\boldsymbol{\lambda}$ 的指数分布，则
$$
P\{X>\sqrt{D X}\}=
$$
解答题 （共 9 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $e < a < b < e^2$ ，证明 $\ln ^2 b-\ln ^2 a>\frac{4}{e^2}(b-a)$.
某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞以增大阻力，使飞机迅速减速并停下.现有一质量为 9000 kg 的飞机，着陆时的水平速度为 $700 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$. 经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比 (比例系数为 $k=6.0 \times 10^6$ ) 问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少? ( kg 表示千克， $\mathrm{km} / \mathrm{h}$ 表示千米 (小时).
计算曲面积分
$$
I=\iint_{\Sigma} 2 x^3 \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+2 y^3 \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+3\left(z^2-1\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y,
$$
其中 $\sum$ 是曲面 $z=1-x^2-y^2(z \geq 0)$ 的上侧.
设有方程 $x^n+n x-1=0$ ，其中 $n$ 为正整数. 证明此方程存在惟一正实根 $x_n$ ，并证明当 $\alpha>1$ 时，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} x_n^\alpha$ 收敛.
设 $z=z(x, y)$ 是由 $x^2-6 x y+10 y^2-2 y z-$ $z^2+18=0$ 确定的函数，求 $z=z(x, y)$ 的极值点和极值.
设有齐次线性方程组
$$
\left\{\begin{array}{c}
(1+a) x_1+x_2+\cdots+x_n=0, \\
2 x_1+(2+a) x_2+\cdots+2 x_n=0, \quad(n \geq 2) \\
\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\
n x_1+n x_2+\cdots+(n+a) x_n=0,
\end{array}\right.
$$
试问 $a$ 取何值时，该方程组有非零解，并求出其非零解.
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & -3 \\ -1 & 4 & -3 \\ 1 & a & 5\end{array}\right)$ 的特征方程有一个二重根，求 $a$ 的值，并讨论 $A$ 是否可相似对角化.
设 $A, B$ 为随机事件，且
(I) 二维随机变量 $(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y})$ 的概率分布;
() $X$ 和 $Y$ 的相关系数 $\rho_{X Y}$.
设总体 $X$ 的分布函数为 $F(x, \beta)=\left\{\begin{array}{cc}1-\frac{1}{x^\beta}, & x>1 \\ 0, & x \leq 1\end{array}\right.$ ，其中未知参数 $\beta>1, X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本，求: (I) $\beta$ 的矩估计量； () $\beta$ 的最大似然估计量.