### 1996年全国硕士研究生招生统一考试数学试题及详细参考解答(数三)

$\text{A.}$ $f^{\prime}\left(x_0\right)$ 是 $f^{\prime}(x)$ 的极大值 $\text{B.}$ $f\left(x_0\right)$ 是 $f(x)$ 的极大值 $\text{C.}$ $f\left(x_0\right)$ 是 $f(x)$ 的极小值 $\text{D.}$ $\left(x_0, f\left(x_0\right)\right)$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点

$\text{A.}$ $\int_0^1 \mathrm{~d} y \int_0^{\sqrt{y-y^2}} f(x, y) \mathrm{d} x$ $\text{B.}$ $\int_0^1 \mathrm{~d} y \int_0^{\sqrt{1-y^2}} f(x, y) \mathrm{d} x$ $\text{C.}$ $\int_0^1 \mathrm{~d} x \int_0^1 f(x, y) \mathrm{d} y$ $\text{D.}$ $\int_0^1 \mathrm{~d} x \int_0^{\sqrt{x-x^2}} f(x, y) \mathrm{d} y$

$\text{A.}$ 若 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n^2$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n^2$ 都收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_n+v_n\right)^2$ 收敛 $\text{B.}$ 若 $\sum_{n=1}^{\infty}\left|u_n v_n\right|$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n^2$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n^2$ 都收敛 $\text{C.}$ 若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 发散，则 $u_n \geq \frac{1}{n}$ $\text{D.}$ 若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛，且 $u_n \geq v_n(n=1,2, \cdots)$ ，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 也收敛

$\text{A.}$ $\left(\mathrm{A}^*\right)^*=|A|^{n-1} A$ $\text{B.}$ $\left(\mathrm{A}^*\right)^*=|\boldsymbol{A}|^{n+1} A$ $\text{C.}$ $\left(\mathrm{A}^*\right)^*=|\boldsymbol{A}|^{n-2} \boldsymbol{A}$ $\text{D.}$ $\left(\mathrm{A}^*\right)^*=|\boldsymbol{A}|^{n+2} \boldsymbol{A}$

$\text{A.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m$ 和 $\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_m$ 都线性相关 $\text{B.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m$ 和 $\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_m$ 都线性无关 $\text{C.}$ $\alpha_1+\beta_1, \alpha_2+\beta_2, \cdots, \alpha_m+\beta_m, \alpha_1-\beta_1, \alpha_2-\beta_2$,$\cdots, \alpha_m-\beta_m$ 线性无关 $\text{D.}$ $\alpha_1+\beta_1, \alpha_2+\beta_2, \cdots, \alpha_m+\beta_m, \alpha_1-\beta_1, \alpha_2-\beta_2$,$\cdots, \alpha_m-\beta_m$ 线性相关

$\text{A.}$ $P(A) < P(A \mid B)$ $\text{B.}$ $P(A) \leq P(A \mid B)$ $\text{C.}$ $P(A)>P(A \mid B)$ $\text{D.}$ $P(A) \geq P(A \mid B)$

$\text{A.}$ $\boldsymbol{P}\left[\left(A_1+A_2\right) \mid \bar{B}\right]=P\left(A_1 \mid \bar{B}\right)+P\left(A_2 \mid \bar{B}\right)$ $\text{B.}$ $P\left(A_1 B+A_2 B\right)=P\left(A_1 B\right)+P\left(A_2 B\right)$ $\text{C.}$ $P\left(A_1+A_2\right)=P\left(A_1 \mid B\right)+P\left(A_2 \mid B\right)$ $\text{D.}$ $P(B)=P\left(A_1\right) P\left(B \mid A_1\right)+P\left(A_2\right) P\left(B \mid A_2\right)$

$$\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ a_1 & a_2 & a_3 & \cdots & a_n \\ a_1^2 & a_2^2 & a_3^2 & \cdots & a_n^2 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_1^{n-1} & a_2^{n-1} & a_3^{n-1} & \cdots & a_n^{n-1} \end{array}\right), \boldsymbol{X}=\left(\begin{array}{r} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \vdots \\ x_n \end{array}\right), B=\left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \\ \vdots \\ 1 \end{array}\right)$$

(1) 求 $f^{\prime}(x)$ ；
(2) 讨论 $f^{\prime}(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上的连续性.

(1) 求证: 两坐标轴与该抛物线所围图形的面积等于 $x$ 轴与该抛物线所围图形的面积；
(2) 计算上述两个平面图形绕 $x$ 轴旋转一周所产生的两个旋转体体积之比.

$\frac{x}{y} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}-2 \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}+\frac{y}{x} \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} .$

(1) 求 $p$ 在何范围变化时，使相应销售额增加或减少;
(2) 要使销售额最大，商品单价 $p$ 应取何值? 最大销售额是多少?

(1) 已知 $A$ 的一个特征值为 3 ，试求 $y$ ；
(2) 求矩阵 $P$ ，使 $(A P)^T(A P)$ 为对角矩阵.

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