单选题 （共 12 题 ），每题只有一个选项正确
设 $z=5+\mathrm{i}$, 则 $\mathrm{i}(\bar{z}+z)=$
$\text{A.}$ $10 {i}$
$\text{B.}$ $2 {i}$
$\text{C.}$ $10$
$\text{D.}$ $-2$
集合 $A=\{1,2,3,4,5,9\}, B=\{x \mid \sqrt{x} \in A\}$, 则 $\complement_A(A \cap B)=$
$\text{A.}$ $\{1,4,9\}$
$\text{B.}$ $\{3,4,9\}$
$\text{C.}$ $\{1,2,3\}$
$\text{D.}$ $\{2,3,5\}$
若实数 $x, y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}4 x-3 y-3 \geq 0, \\ x-2 y-2 \leq 0, \\ 2 x+6 y-9 \leq 0,\end{array}\right.$ 则 $z=x-5 y$ 的最小值为
$\text{A.}$ 5
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ -2
$\text{D.}$ $-\frac{7}{2}$
记 $S_n$ 为等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和. 若 $S_5=S_{10}, a_5=1$, 则 $a_1=($ )
$\text{A.}$ -2
$\text{B.}$ $\frac{7}{3}$
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ 2
已知双曲线的两个焦点分别为 $F_1(0,4), F_2(0,-4)$, 点 $(-6,4)$ 在该双曲线上, 则该双曲线的离心率为
$\text{A.}$ 4
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ $\sqrt{2}$
设函数 $f(x)=\frac{e^x+2 \sin x}{1+x^2}$, 则曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0,1)$ 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为
$\text{A.}$ $\frac{1}{6}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{2}{3}$
函数 $f(x)=-x^2+\left(e^x-e^{-x}\right) \sin x$ 的区间 $[-2.8,2.8]$ 的图像大致为
$\text{A.}$ 
$\text{B.}$ 
$\text{C.}$ 
$\text{D.}$ 
已知 $\frac{\cos \alpha}{\cos \alpha-\sin \alpha}=\sqrt{3}$, 则 $\tan \left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)=$
$\text{A.}$ $2 \sqrt{3}+1$
$\text{B.}$ $2 \sqrt{3}-1$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\text{D.}$ $1-\sqrt{3}$
已知向量 $\vec{a}=(x+1, x), \vec{b}=(x, 2)$, 则
$\text{A.}$ “ $\vec{a} \perp \vec{b}$ ”的必要条件是“ $x=-3$ ”
$\text{B.}$ “ $\vec{a} \| \vec{b}$ ”的必要条件是“ $x=-3$ ”
$\text{C.}$ “ $\vec{a} \perp \vec{b}$ ”的充分条件是“ $x=0$ ”
$\text{D.}$ “ $\vec{a} \| \vec{b}$ ”的充分条件是“ $x=-1+\sqrt{3}$ ”
已知 $\alpha 、 \beta$ 是两个平面, $m 、 n$ 是两条直线, $\alpha \cap \beta=m$. 下列四个命题:
(1)若 $m \| n$, 则 $n \| \alpha$ 或 $n \| \beta$
(2) 若 $m \perp n$, 则 $n \perp \alpha, n \perp \beta$
(3)若 $n \| \alpha$, 且 $n \| \beta$, 则 $m \| n$
(4)若 $n$ 与 $\alpha$ 和 $\beta$ 所成的角相等, 则 $m \perp n$
其中, 所有真命题的编号是
$\text{A.}$ (1)(3)
$\text{B.}$ (2)(3)
$\text{C.}$ (1)(2)(3)
$\text{D.}$ (1)(3)(4)
在 $\triangle A B C$ 中, 内角 $A, B, C$ 所对边分别为 $a, b, c$,若 $B=\frac{\pi}{3}, b^2=\frac{9}{4} a c$, 则 $\sin A+\sin C=$
$\text{A.}$ $\frac{3}{2}$
$\text{B.}$ $\sqrt{2}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{7}}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$
已知 $a, b, c$ 成等差数列, 直线 $a x+b y+c=0$ 与圆 $C: x^2+(y+2)^2=5$ 交于 $A, B$ 两点, 则 $|A B|$ 的最小值为
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ 4
$\text{D.}$ 5
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
二项式 $\left(\frac{1}{3}+x\right)^{10}$ 的展开式中, 各项系数的最大值是
已知甲、乙两个圆台上下底面的半径均为 $r_2$ 和 $r_1$, 母线长分别为 $2\left(r_1-r_2\right)$ 和 $3\left(r_1-r_2\right)$, 则两个圆台的体积
已知 $a>1, \frac{1}{\log _8 a}-\frac{1}{\log _a 4}=-\frac{5}{2}$, 则 $a=$.
有 6 个相同的球, 分别标有数字 $1 、 2 、 3 、 4 、 5 、 6$, 从中不放回地随机抽取3次, 每次取 1 个球. 记 $m$ 表示前两个球号码的平均数, 记 $n$ 表示前三个球号码的平均数, 则 $m$ 与 $n$ 差的绝对值不超过 $\frac{1}{2}$ 的概率是
解答题 （共 7 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
某工厂进行生产线智能化升级改造. 升级改造后, 从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取 150 件进行检验, 数据如下:
（1）填写如下联保表
能否有 $95 \%$ 的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异? 能否有 $99 \%$ 的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异?
(2) 已知升级改造前该工厂产品的优级品率 $p=0.5$. 设 $\bar{p}$ 为升级改造后抽取的 $n$ 件产品的优级品率. 如果 $\bar{p}>p+1.65$
$\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$, 则认为该工厂产品的优级品率提高了. 根据抽取的 150 件产品的数据, 能否认为生产线智能化升级改造后, 该工厂产品的优级品率提高了? $(\sqrt{150} \approx 12.247$ )
附: $K^2=\frac{n(a d-b c)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$,
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$, 且 $4 S_n=3 a_n+4$.
(1) 求 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；
（2）设 $b_n=(-1)^{n-1} n a_n$, 求数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n$.
如图, 在以 $A, B, C, D, E, F$ 为顶点的五面体中, 四边形 $A B C D$ 与四边形 $C D E F$ 均为等腰梯形, $A B\|C D, C D\| E F, A B=D E=E F=C F=2, C D=4, A D=B C=\sqrt{10}, A E=2 \sqrt{3}, M$ 为 $C D$的中点.
(1) 证明: $E M \|$ 平面 $B C F$;
(2) 求二面角 $A-E M-B$ 的正弦值.
已知函数 $f(x)=(1-a x) \ln (1+x)-x$.
（1）当 $a=-2$ 时, 求 $f(x)$ 的极值；
（2）当 $x \geq 0$ 时, $f(x) \geq 0$, 求 $a$ 的取值范围.
已知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的右焦点为 $F$, 点 $M\left(1, \frac{3}{2}\right)$ 在椭圆 $C$ 上, 且 $M F \perp x$ 轴.
(1) 求椭圆 $C$ 的方程;
(2) $P(4,0)$, 过 $P$ 的直线与椭圆 $C$ 交于 $A, B$ 两点, $N$ 为 $F P$ 的中点, 直线 $N B$ 与 $M F$ 交于 $Q$, 证明: $A Q \perp y$ 轴.
在平面直角坐标系 $x O y$ 中, 以坐标原点 $O$ 为极点, $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线 $C$ 的极坐标方程为 $\rho=\rho c$ $\operatorname{os} \theta+1$.
（1）写出 $C$ 的直角坐标方程;
(2) 直线 $l:\left\{\begin{array}{l}x=t \\ y=t+a\end{array}\right.$ ( $t$ 为参数 $)$, 若 $C$ 与 $l$ 交于 $A 、 B$ 两点, $|A B|=2$, 求 $a$ 的值.
实数 $a, b$ 满足 $a+b \geq 3$.
(1) 证明: $2 a^2+2 b^2>a+b$ ；
( 2 ) 证明: $\left|a-2 b^2\right|+\left|b-2 a^2\right| \geq 6$.