单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
复数 $(2+i)^2$ 的实部是
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ 4
$\text{D.}$ 5
已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}|=2,|\vec{b}|=1,|2 \vec{a}-\vec{b}|=5$, 则 $\vec{a} \cdot \vec{b}=$
$\text{A.}$ -2
$\text{B.}$ -4
$\text{C.}$ -5
$\text{D.}$ -10
在 $\triangle A B C$ 中, $A=\frac{\pi}{4}, \cos B=\frac{3}{5}$, 则 $\sin C=$
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{2}}{10}$
$\text{B.}$ $-\frac{\sqrt{2}}{10}$
$\text{C.}$ $\frac{7 \sqrt{2}}{10}$
$\text{D.}$ $-\frac{7 \sqrt{2}}{10}$
为了得到函数 $y=3 \sin \left(2 x-\frac{\pi}{5}\right)$ 的图象, 只要把 $y=3 \sin \left(2 x+\frac{\pi}{5}\right)$ 图象上所有的点
$\text{A.}$ 向右平行移动 $\frac{\pi}{5}$ 个单位长度
$\text{B.}$ 向左平行移动 $\frac{\pi}{5}$ 个单位长度
$\text{C.}$ 向右平行移动 $\frac{2 \pi}{5}$ 个单位长度
$\text{D.}$ 向左平行移动 $\frac{2 \pi}{5}$ 个单位长度
从 3 名男生和 3 名女生中任意抽取两人, 设事件 $A=$ “抽到的两人都是男生”, 事件 $B=$ “抽到 1 名男生与 1 名女生”, 则
$\text{A.}$ 在有放回简单随机抽样方式下, $P(A)=\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ 在不放回简单随机抽样方式下, $P(B)=\frac{1}{4}$
$\text{C.}$ 在按性别等比例分层抽样方式下, $P(A)=\frac{1}{3}$
$\text{D.}$ 在按性别等比例分层抽样方式下, $P(B)=1$
四名同学各掷㴮子 5 次, 分别记录每次骰子出现的点数, 根据四名同学各自的统计结果的数字特征, 可以判断出一定没有出现点数 6 的是
$\text{A.}$ 中位数为 3 , 众数为 3
$\text{B.}$ 平均数为 3 , 中位数为 3
$\text{C.}$ 中位数为 2 , 极差为 2
$\text{D.}$ 平均数为 2 , 标准差为 2
三棱椎 $A-B C D$ 中, $A B \perp B D, A B \perp C D, B D \perp C D$. 若 $A B=3, A C=5$, 则该三棱椎体积的最大值为
$\text{A.}$ 3
$\text{B.}$ 4
$\text{C.}$ 6
$\text{D.}$ 12
在四棱椎 $P-A B C D$ 中, $A D / / B C, A D=2 B C$, 则下列结论中不成立的是
$\text{A.}$ 平面 $P A B$ 内任意一条直线都不与 $C D$ 平行
$\text{B.}$ 平面 $P C D$ 内存在无数条直线与平面 $P A B$ 平行
$\text{C.}$ 平面 $P C D$ 和平面 $P A B$ 的交线不与底面 $A B C D$ 平行
$\text{D.}$ 平面 $P B C$ 和平面 $P A D$ 的交线不与底面 $A B C D$ 平行
多选题 （共 4 题 ），每题有多个选项正确
一个袋子中有标号分别为 1，2，3，4 的 4 个小球, 除标号外没有其他差异. 采用不放回方式从中任意摸球两次. 设事件 $A=$ “第一次摸出球的标号为 2 ”, 事件 $B=$ “第二次摸出球的标号为 3 ”, 事件 $C=$ “两次摸出球的标号之和为 4 ”, 事件 $D=$ “两次摸出球的标号之和为 5 ”, 则
$\text{A.}$ 事件 $A$ 与 $B$ 互斥
$\text{B.}$ 事件 $A$ 与 $C$ 相互独立
$\text{C.}$ 事件 $C$ 与 $D$ 互斥
$\text{D.}$ 事件 $B$ 与 $D$ 相互独立
已知函数 $f(x)=\tan \left(\frac{1}{2} x-\frac{\pi}{4}\right)$, 则下列结论正确的是
$\text{A.}$ $f(x)$ 的最小正周期是 $\frac{\pi}{2}$
$\text{B.}$ $f(x)$ 的图象关于点 $\left(\frac{\pi}{2}, 0\right)$ 对称
$\text{C.}$ $|f(x)|$ 的图象关于直线 $x=\frac{\pi}{2}$ 对称
$\text{D.}$ $f(x)$ 在区间 $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ 上单调递增
已知 $i$ 为虚数单位, 则下列结论正确的是
$\text{A.}$ 若 $z-\bar{z}=0$, 则 $z \in \mathbf{R}$
$\text{B.}$ 若 $z(1+i)=2$, 则 $z=\sqrt{2} \cos \frac{7 \pi}{4}+i \sin \frac{7 \pi}{4}$
$\text{C.}$ 若 $\left|z_1\right|=\left|z_2\right|=3, z_1+z_2=5+i$, 则 $\left|z_1-z_2\right|=\sqrt{10}$
$\text{D.}$ 若复数 $z$ 满足 $1 < |z| < 2$, 则复数 $z$ 在复平面内对应的点所构成的图形面积为 $\pi$
在 $\triangle A B C$ 中, $A C \perp B C$, 将 $\triangle A B C$ 分别绕边 $B C, A C, A B$ 所在直线旋转一周, 形成的几何体的侧面积分别记为 $S_a, S_b, S_c$, 体积分别记为 $V_a, V_b, V_c$, 则
$\text{A.}$ $S_a+S_b \geqslant 2 S_c$
$\text{B.}$ $V_a+V_b \geqslant 2 V_c$
$\text{C.}$ $\frac{1}{S_a^2}+\frac{1}{S_b^2}=\frac{1}{S_c^2}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{V_a^2}+\frac{1}{V_b^2}=\frac{1}{V_c^2}$
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知向量 $\vec{a}=(1,-3), \vec{b}=(\lambda, 5)$, 且 $(\vec{a}+\vec{b}) \perp \vec{a}$, 则 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 方向上的投影向量的坐标为
某校为了解高中学生的身高情况, 根据男、女学生所占的比例, 采用样本量按比例分配的分层随机抽样分别抽取了男生 100 名和女生 60 名, 测量他们的身高所得数据（单位: $\mathrm{cm}$ ) 如下:
根据以上数据, 可计算出该校高中学生身高的总样本方差
如图, 在扇形 $O P O$ 中, 半径 $O P=1$, 圆心角 $\angle P O Q=\frac{\pi}{3}$, 矩形 $A B C D$ 内接于扇形 $O P Q$, 其中点 $B, C$ 都在弧 $P Q$ 上, 则矩形 $A B C D$ 的面积的最大值为
已知四边形 $A B C D$ 是正方形, 将 $\triangle D A C$ 沿 $A C$ 翻折到 $\triangle D_1 A C$ 的位置, 点 $G$ 为 $\triangle D_1 A C$ 的重心,点 $E$ 在线段 $B C$ 上, $G E / /$ 平面 $D_1 A B, G E \perp D_1 A$. 若 $C E=\lambda E B$, 则 $\lambda=2$, 直线 $G B$ 与平面 $D_1 A C$ 所成角的正切值为
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
我国是世界上严重缺水的国家之一, 城市缺水问题较为突出. 某市政府为了减少水资源的浪费, 计划对居民生活用水费用实施阶梯式水价制度, 即确定一个合理的居民生活用水量标准 $a$ （单位:
$t$, 使得用户月均用水量不超过 $a$ 的部分按平价收费, 超过 $a$ 的部分按议价收费. 通过随机抽样, 获得了该市 100 户居民生活月均用水量 (单位: $t$ ) 的数据, 整理得到如下的频率分布直方图.
（1）求这 100 户居民生活月均用水量在区间 $[1.5,2)$ 内的频率;
（2）若该市政府希望 85\%的居民生活月均用水量不超过标准 $a t$, 试估计 $a$ 的值, 并说明理由.
如图是函数 $f(x)=\cos (\omega x+\varphi)(\omega>0,0 < \varphi < \pi)$ 在一个周期上的图象, 点 $A$ 是函数 $f(x)$图象与 $x$ 轴的交点, 点 $B, C$ 分别是函数 $f(x)$ 图象的最低点与最高点, 且 $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}=2$.
（1）求 $f(x)$ 的最小正周期 $T$;
（2）若 $f(2)-f\left(\frac{4}{3}\right)=1$, 求 $f(x)$ 的解析式.
11 分制兵乓球比赛, 每赢一球得 1 分, 当某局打成 10: 10 平后, 每球交换发球权, 先多得 2 分的一方获胜, 该局比赛结束. 甲、乙两人进行单打比赛, 假设甲发球时甲得分的概率为 0.6 , 乙发球时甲得分的概率为 0.4 , 各球的结果相互独立. 在某局双方 10: 10 平后, 乙先发球, 两人又打了 $X$ 个球该局比赛结束.
（1）求事件 “ $X=2$ ” 的概率;
（2）求事件 “ $X=4$ 且乙获胜” 的概率.
如图, 在直三棱柱 $A B C-A_1 B_1 C_1$ 中, $A B \perp B C$.
(1) 证明: 平面 $A B C_1 \perp$ 平面 $B C C_1$;
(2) 若直线 $A C$ 与平面 $A B C_1$ 所成的角为 $\theta$, 二面角 $C_1-A B-C$ 的大小为 $\varphi$, 试判断 $\theta$ 与 $\varphi$ 的大小关系,并说明理由.
已知 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$, 且 $\sqrt{3} \sin B+\cos B=\frac{b+c}{a}$.
（1）求 $A$;
（2）若点 $D$ 在边 $B C$ 上, 且 $A D=B D=3, C D=2$, 求 $b$.
如图, 在棱长为 4 的正方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 中, $E$ 为 $C C_1$ 的中点, 经过 $A, D_1, E$ 三点的平面记为平面 $\alpha$, 点 $P$ 是侧面 $B C C_1 B_1$ 内的动点, 且 $A_1 P / / \alpha$.
（1）设平面 $B C C_1 B_1 \cap \alpha=l$, 求证: $A D_1 / / l$;
(2) 平面 $\alpha$ 将正方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 分成两部分, 求这两部分的体积之比 $\frac{V_1}{V_2}$ (其中 $V_1 \leqslant V_2$ );
（3）当 $A_1 P$ 最小时, 求三棱椎 $P-A A_1 D_1$ 的外接球的表面积.
