单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
已知 $z=-1-\mathrm{i}$, 则 $|z|=$.
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ $\sqrt{2}$
$\text{D.}$ 2
已知命题 $p: \forall x \in \mathbf{R},|x+1|>1$; 命题 $q: \exists x>0, x^3=x$. 则
$\text{A.}$ $p$ 和 $q$ 都是真命题
$\text{B.}$ $\neg p$ 和 $q$ 都是真命题
$\text{C.}$ $p$ 和 $\neg q$ 都是真命题
$\text{D.}$ $\neg p$ 和 $\neg q$ 都是真命题
已知向量 $a, b$ 满足 $|a|=1,|\boldsymbol{a}+2 \boldsymbol{b}|=2$, 且 $(\boldsymbol{b}-2 \boldsymbol{a}) \perp \boldsymbol{b}$. 则 $|\boldsymbol{b}|=$
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\text{D.}$ $1$
某农业研究部门在面积相等的 100 块稳田上种植一种新型水稻, 得到各块稳田的亩产量 (单位: kg) 并整理部分数据如下表所示:
据表中数据, 结论中正确的是
$\text{A.}$ 100 块稻田亩产量中位数小于 $1050 \mathrm{~kg}$
$\text{B.}$ 100 块稻田中的亩产量低于 $1100 \mathrm{~kg}$ 的稻田所占比例超过 $20 \%$
$\text{C.}$ 100 块稻田亩产量的标差介于 $200 \mathrm{~kg}$ 至 $300 \mathrm{~kg}$ 之间
$\text{D.}$ 100 块稻田亩产量的平均值介于 $900 \mathrm{~kg}$ 至 $1000 \mathrm{~kg}$ 之间
已知曲线 $C: x^2+y^2=16(y>0)$, 从 $C$ 上任意一点 $P$ 向 $x$ 轴作垂线段 $P P^{\prime}, P^{\prime}$ 为垂足,则线段 $P P^{\prime}$ 的中点 $M$ 的轨迹方程为
$\text{A.}$ $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1(y>0)$
$\text{B.}$ $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{8}=1(y>0)$
$\text{C.}$ $\frac{y^2}{16}+\frac{x^2}{4}=1(y>0)$
$\text{D.}$ $\frac{y^2}{16}+\frac{x^2}{8}=1(y>0)$
设函数 $f(x)=a(x+1)^2-1, g(x)=\cos x+2 a x$ ( $a$ 为常数), 当 $x \in(-1,1)$ 时, 曲线 $y=f(x)$ 与 $y=g(x)$恰有一个交点, 则 $a=$
$\text{A.}$ -1
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ 2
已知正三棱台 $A B C-A_1 B_1 C_1$ 的体积为 $\frac{52}{3}, A B=6, A B=2$, 则 $A_1 A$ 与折面 $A B C$ 所成角的正切值
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
设函数 $f(x)=(x+a) \ln (x+b)$, 若 $f(x) \geqslant 0$, 则 $a^2+b^2$ 的最小值为
$\text{A.}$ $\frac{1}{8}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{4}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ $1$
多选题 （共 3 题 ），每题有多个选项正确
对于函数 $f(x)=\sin 2 x$ 和 $g(x)=\sin \left(2 x-\frac{\pi}{4}\right)$, 下列正确的有
$\text{A.}$ $f(x)$ 与 $g(x)$ 有相同的零点
$\text{B.}$ $f(x)$ 与 $g(x)$ 有相同的最大值
$\text{C.}$ $f(x)$ 与 $g(x)$ 有相同的最小正周期
$\text{D.}$ $f(x)$ 与 $g(x)$ 的图像有相同的对称轴
抛物线 $C: y^2=4 x$ 的准线为 $l, P$ 为 $C$ 上动点, 过 $P$ 作 $\odot A: x^2+(y-4)^2=1$ 的一条切线, $Q$ 为切点, 过点 $P$ 作 $l$ 的垂线, 垂足为 $B$. 则
$\text{A.}$ $l$ 与 $\odot A$ 相切
$\text{B.}$ 当 $P, A, B$ 三点共线时, $|P Q|=\sqrt{15}$
$\text{C.}$ 当 $|P B|=2$ 时, $P A \perp A B$
$\text{D.}$ 满足 $|P A|=|P B|$ 的点 $A$ 有且仅有 2 个
设函数 $f(x)=2 x^3-3 a x^2+1$, 则
$\text{A.}$ 当 $a>1$ 时, $f(x)$ 有三个零点
$\text{B.}$ 当 $a < 0$ 时, $x=0$ 是 $f(x)$ 的极大值点
$\text{C.}$ 存在 $a, b$, 使得 $x=b$ 为曲线 $y=f(x)$ 的对称轴
$\text{D.}$ 存在 $a$, 使得点 $(1, f(1))$ 为曲线 $y=f(x)$ 的对称中心
填空题 （共 3 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
记 $S_n$ 为等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和, 若 $a_3+a_4=7,3 a_2+a_5=5$, 则 $S_{10}=$
已知 $\alpha$ 为第一象限角, $\beta$ 为第三像限角, $\tan \alpha+\tan \beta=4, \tan \alpha \tan \beta=\sqrt{2}+1$, 则 $\sin (\alpha+\beta)=$
在上图的 $4 \times 4$ 方格表中选 4 个方格, 要求每行和每列均恰有一个方格被选中, 则共有 ________ 种选法, 在所有符合上述要求的选法中, 选中方格中的 4 个数之和的最大值是 ________
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
记 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$, 已知 $\sin A+\sqrt{3} \cos A=2$.
(1) 求 $A$.
(2) 若 $a=2, \sqrt{2} b \sin C=c \sin 2 B$, 求 $\triangle A B C$ 的周长.
已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^x-a x-a^3$.
(1) 当 $a=1$ 时, 求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处的切线方程.
(2) 若 $f(x)$ 有极小值, 且极小值小于 0 , 求 $a$ 的取值范围.
如图, 平面四边形 $A B C D$ 中, $A B=8, C D=3, A D=5 \sqrt{3}, \angle A D C=90^{\circ}, \angle B A D=30^{\circ}$, 点 $E, F$ 满足 $\overrightarrow{A E}=\frac{2}{5} \overrightarrow{A D}, \overrightarrow{A F}=\frac{1}{2} \overrightarrow{A B}$. 将 $\triangle A E F$ 沿 $E F$ 期折至 $\triangle P E F$, 使得 $P C=4 \sqrt{3}$.
(1) 证明: $E F \perp P D$.
(2) 求面 $P C D$ 与面 $P B F$ 所成的二面角的正弦值.
某投篮比赛分为两个阶段, 每个参赛队由两名队员组成, 比赛具体规则如下: 第一阶段由参赛队中一名队员投篮 3 次, 若 3 次都未投中, 则该队被淘汰, 比赛成绩为 0 分; 若至少投中一次, 则该队进入第二阶段, 由该队的另一名队员投篮 3 次, 每次投中得 5 分, 未投中得 0 分, 该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.
某参赛队由甲、乙两名队员组成, 设甲每次投中的概率为 $p$, 乙每次投中的概率为 $q$, 各次投中与否相互独立.
(1) 若 $p=0.4, q=0.5$, 甲参加第一阶段比赛, 求甲、乙所在队的比赛成绩不少于 5 分的概率.
(2) 假设 $0 < p < q$.
(i) 为使得甲、乙所在队的比赛成绩为 15 分的概率最大, 应该由谁参加第一阶段的比赛?
(ii) 为使得甲、乙所在队的比赛成缌的数学期望最大, 应该由谁参加第一阶段的比赛?
已知双曲线 $C: x^2-y^2=m(m>0)$, 点 $P_1(5,4)$ 在 $C$ 上, $k$ 为常数, $0 < k < 1$. 按照如下方式依次构造点 $P_n(n=2,3, \cdots)$, 过点 $P_{n-1}$ 作斜率为 $k$ 的直线与 $C$ 的左支交于点 $Q_{n-1}$, 令 $P_n$ 为 $Q_{n-1}$ 关于 $y$ 轴的对称点, 记 $P_n$ 的坐标为 $\left(x_n, y_n\right)$.
(1) 若 $k=\frac{1}{2}$, 求 $x_2, y_2$.
(2) 证明: 数列 $\left\{x_n-y_n\right\}$ 是公比为 $\frac{1+k}{1-k}$ 的等比数列.
(3) 设 $S_n$ 为 $\triangle P_n P_{n+1} P_{n+2}$ 的面积, 证明: 对任意的正整数 $n, S_n=S_{n+1}$.