解答题 （共 40 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知: $\triangle A B C$ 外接于 $\odot O, \angle B A C=60^{\circ}, A E \perp B C, C F \perp A B, A E 、 C F$ 相交 于点 $H$, 点 $D$ 为弧 $B C$ 的中点, 连接 $H D 、 A D$ 。求证: $\triangle A H D$ 为等腰三角形
如图, $F$ 为正方形 $A B C D$ 边 $C D$ 上一点, 连接 $A C$ 、 $A F$, 延长 $A F$ 交 $A C$ 的平行线 $D E$ 于点 $E$, 连接 $C E$, 且 $\mathrm{AC}=\mathrm{AE}$ 。求证: $C E=C F$
已知: $\triangle A B C$ 中, $A B=A C, \angle B A C=20^{\circ}, \angle B D C=30^{\circ}$ 。
求证: $A D=B C$
已知: $\triangle A B C$ 中, $D$ 为 $A C$ 边的中点, $\angle A=3 \angle C, \angle A D B=45^{\circ}$ 。求证: $A B \perp B C$
如图, 四边形 $A B C D$ 的两条对角线 $A C 、 B D$ 交于点 $E, \angle B A C=50^{\circ}, \angle A B D=60^{\circ}$, $\angle C B D=20^{\circ}, \angle C A D=30^{\circ}, \angle A D B=40^{\circ}$ 。求 $\angle A C D$ 。
已知, $\angle A B C=30^{\circ}, \angle A D C=60^{\circ}, A D=D C$ 。求证: $A B^2+B C^2=B D^2$
如图, $P C$ 切 $\odot O$ 于 $C, A C$ 为圆的直径, $P E F$ 为 $\odot O$ 的割线, $A E 、 A F$ 与直线 $P O$ 相 交于 $B 、 D$ 。求证: 四边形 $A B C D$ 为平行四边形
已知: 在 $\triangle A B C$ 中, $A B=A C, \angle A=80^{\circ}, \angle O B C=10^{\circ}, \angle O C A=20^{\circ}$ 。
求证: $A B=O B$
已知: 正方形 $A B C D$ 中, $\angle O A D=\angle O D A=15^{\circ}$, 求证: $\triangle O B C$ 为正三角形。
已知: 正方形 $A B C D$ 中, $E 、 F$ 为 $A D 、 D C$ 的中点, 连接 $B E 、 A F$, 相交于点 $P$, 连 接 $P C$ 。求证: $P C=B C$
如图, $\triangle A C B$ 与 $\triangle A D E$ 都是等腰直角三角形, $\angle A D E=\angle A C B=90^{\circ}, \angle C D F=45^{\circ}, D F$ 交 $B E$ 于 $F$, 求证: $\angle C F D=90^{\circ}$
已知: $\triangle A B C$ 中, $\angle C B A=2 \angle C A B, \angle C B A$ 的角平分线 $B D$ 与 $\angle C A B$ 的角平分线 $A D$ 相 交于点 $D$, 且 $B C=A D$ 。求证: $\angle A C B=60^{\circ}$
已知: 在 $\triangle A B C$ 中, $A C=B C, \angle C=100^{\circ}, A D$ 平分 $\angle C A B$ 。求证: $A D+C D=A B$
已知: $\triangle A B C$ 中, $A B=B C, D$ 是 $A C$ 的中点, 过 $D$ 作 $D E \perp B C$ 于 $E$, 连接 $A E$, 取 $D E$ 中点 $F$, 连接 $B F$ 。求证: $A E \perp B F$
已知: $\triangle A B C$ 中, $\angle A=24^{\circ}, \angle C=30^{\circ}, D$ 为 $A C$ 上一点, $A B=C D$, 连接 $B D$ 。
求证: $A B \cdot B C=B D \cdot A C$
已知: $A B C D$ 与 $A_1 B_1 C_1 D_1$ 均为正方形, $A_2 、 B_2 、 C_2 、 D_2$ 分别为 $A A_1 、 B B_1 、 C C_1 、 D D_1$ 的中点。求证: $A_2 B_2 C_2 D_2$ 为正方形
如图, 在 $\triangle A B C$ 三边上, 向外做三角形 $A B R 、 B C P 、 C A Q$, 使 $\angle C B P=\angle C A Q=45^{\circ}$, $\angle B C P=\angle A C Q=30^{\circ}, \angle A B R=\angle B A R=15^{\circ}$ 。求证： $R Q$ 与 $R P$ 垂直且相等。
如图, 已知 $A D$ 是 $\odot O$ 的直径, $D$ 是 $B C$ 中点, $A B 、 A C$ 交 $\odot O$ 于点 $E 、 F, E M 、 F M$ 是 $\odot O$ 的切线, $E M 、 F M$ 相交于点 $M$, 连接 $D M$ 。求证: $D M \perp B C$
如图, 三角形 $A B C$ 内接于 $\odot O$, 两条高 $A D 、 B E$ 交于点 $H$, 连接 $A O 、 O H$ 。若 $A H=2$, $B D=3, C D=1$, 求三角形 $A O H$ 面积。
如图, $\angle D A C=2 x, \angle A C B=4 x, \angle A B C=3 x, A D=B C$, 求 $\angle B A D$ 。
已知: 在 Rt $\triangle A B C$ 中, $\angle A B C=90^{\circ}, D$ 为 $A C$ 上一点, $E$ 是 $B D$ 的中点, $\angle 1=\angle 2$ 。 求证: $\angle A D B=2 \angle A B D$
已知正方形 $A B C D, P$ 是 $C D$ 上的一点, 以 $A B$ 为直径的圆 $\odot O$ 交 $P A 、 P B$ 于 $E 、 F$, 射线 $D E 、 C F$ 交于点 $M$ 。求证：点 $M$ 在 $\odot O$ 上。
已知, 点 $D$ 是 $\triangle A B C$ 内一定点, 且有 $\angle D A C=\angle D C B=\angle D B A=30^{\circ}$ 。
求证: $\triangle A B C$ 是正三角形。
如图, 过正方形的顶点 $A$ 的直线交 $B C 、 C D$ 于 $M 、 N, D M$ 与 $B N$ 交于点 $L, B P \perp B N$, 交 $D M$ 于点 $P$ 。求证: (1) $C L \perp M N$; (2) $\angle M O N=\angle B P M$
已知: 在正方形 $A B C D$ 中边长为 $1, E$ 是 $C D$ 上一点, $A E$ 交 $B D$ 于点 $G$, 交 $B C$ 的延长 线于点 $F$, 连接 $O F$, 交 $C D$ 于点 $H$, 连接 $G H$ 。
已知: $A B C D$ 与 $A E F G$ 均为正方形, 连接 $C F$, 取 $C F$ 的中点 $M$, 连接 $D M 、 M E$ 。
求证: $\triangle M D E$ 为等腰直角三角形
四边形 $A B C D$ 中, 对角线 $A C 、 B D$ 交于点 $O$, 且 $A B=A D, A O=O C$ 。请你猜想 $A B+B O$ 与 $B C+O D$ 的数量关系, 并证明你的结论。
已知: 四边形 $A B D C$ 中, $\angle A B C=\angle A C B=58^{\circ}, \angle C A D=48^{\circ}, \angle B C D=30^{\circ}$, 求 $\angle B D A$ 的度数
在 $\triangle A B C$ 中, $D$ 是 $A B$ 的中点, $\angle D A C=2 \angle D C A, \angle D C B=30^{\circ}$, 求 $\angle B$ 的度数。
在四边形 $A B C D$ 中, $A D=C D, A C=B D, A B \perp A C$, 求 $\angle B E C$ 的度数。
如图, $\triangle A B C$ 中, $B D \perp A C$ 于 $D, E$ 为 $B D$ 上一点, 且 $\angle A B D=38^{\circ}, \angle C B D=68^{\circ}$, $\angle B C E=14^{\circ}$, 求 $\angle D A E$ 的度数。
已知BD是 $\triangle A B D$ 边 $A C$ 上高, $\angle A B D=38^{\circ}, \angle C B D=68^{\circ}, \angle B C E=14^{\circ}, \angle D C E=8^{\circ}$, 求 $\angle \mathrm{CAE}$
$C D$ 为 $\odot O$ 的直径, $A 、 B$ 为半圆上两点, $D E$ 为过点 $D$ 的切线, $A B$ 交 $D E$ 于 $E$, 连接 $O E$, 交 $C B$ 于 $M$, 交 $A C$ 于 $N$ 。求证: $O N=O M$
如图, 四边形 $A B C D$ 中, $B C=C D, \angle B C A=21^{\circ}, \angle C A D=39^{\circ}, \angle C D A=78^{\circ}$, 求 $\angle B A C$ 的度数。
如图, 四边形 $A B C D$ 中, $A D=C D, \angle B A C=10^{\circ}, \angle A B D=50^{\circ}, \angle A C D=20^{\circ}$, 求 $\angle C B D$ 的度数。
如图, $B D=C E, G 、 H$ 为 $B C 、 D E$ 中点, $A B=A C, F D=F E, \angle B A C=\angle D F E$ 。
求证: $A F / / G H$
如图, 在正方形 $A B C D$ 中, 有任意四点 $E 、 F 、 G 、 H$, 且 $E F=4 、 G H=3$, 四边形 $E G F H$ 的面积为 5 , 求正方形 $A B C D$ 的面积。
已知 $ 2 \angle C=3 \angle B, 2 B C=A B $, 求 $ \angle A $
在 $\triangle A B C$ 中, $\angle A B C=46^{\circ}, D$ 是 $B C$ 边上一点, $D C=A B, \angle D A B=21^{\circ}$, 求 $\angle C$ 。
在 $\triangle A B C$ 中, $A B=A C, D$ 为 $B C$ 边上一点, $E$ 为 $A D$ 上一点, 且满足 $\angle B E D=2 \angle C E D$ $=\angle B A C$ 。求证: $B D=2 C D$ 。
