单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
当 $x \rightarrow 0$ 时, $x-\ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right) \sim c x^k$, 则 $c, k$ 分别是
$\text{A.}$ $\frac{1}{3}, 3$.
$\text{B.}$ $\frac{1}{6}, 3$.
$\text{C.}$ $\frac{1}{3}, 2$.
$\text{D.}$ $\frac{1}{6}, 2$.
设 $f(x)$ 满足微分方程 $f^{\prime \prime}(x)+x f^{\prime}(x)=\ln (1+x)-\frac{\arctan x}{x+1}$, 且 $f(x)$ 有驻点 $x=x_0>0$, 则
$\text{A.}$ $x_0$ 不是 $f(x)$ 的极值点.
$\text{B.}$ $x_0$ 是 $f(x)$ 的极大值点.
$\text{C.}$ $x_0$ 是 $f(x)$ 的极小值点.
$\text{D.}$ 无法判断 $x_0$ 是否是 $f(x)$ 的极值点.
曲线 $f(x)=\int_x^{\sqrt{3}} x \sin t^2 \mathrm{~d} t$ 与直线 $x=0, x=\sqrt{3}, y=0$ 所围平面图形绕 $y$ 轴旋转一周所形成的 旋转体的体积为
$\text{A.}$ $\frac{1}{3} \pi \sin 3-\pi \cos 3$.
$\text{B.}$ $-\frac{1}{3} \pi \sin 3-\pi \cos 3$.
$\text{C.}$ $\frac{2}{3} \pi \sin 3-2 \pi \cos 3$.
$\text{D.}$ $-\pi \cos 3-\pi \sin 3$.
$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\pi}{2 n^4} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n i^2 \sin \frac{\pi j}{2 n}=$
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}$.
$\text{B.}$ $\frac{1}{3}$.
$\text{C.}$ $\frac{1}{4}$.
$\text{D.}$ $\frac{1}{5}$.
设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cccc}1 & -3 & 1 & -2 \\ 2 & -5 & -2 & -2 \\ 0 & -4 & 5 & 1 \\ -3 & 9 & -6 & 7\end{array}\right), M_{3 j}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的第 3 行第 $j$ 列元素的余子式 $(j=1,2,3,4)$, 则 $M_{31}+3 M_{32}-2 M_{33}+2 M_{34}=$
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ -2
$\text{D.}$ -3
设 $\boldsymbol{A}$ 是 3 阶矩阵, 将 $\boldsymbol{A}$ 的第 2 列加到第 3 列得矩阵 $\boldsymbol{B}$, 再将 $\boldsymbol{B}$ 的第 3 行的 $-1$ 倍加到第 2 行得 $\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & a\end{array}\right)$, 其中 $a$ 为常数, 则 $\boldsymbol{A}$ 的 3 个特征值为
$\text{A.}$ $1,-1,2$.
$\text{B.}$ $1,2,-2$.
$\text{C.}$ $1,2,a$.
$\text{D.}$ $1,-a,a$.
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 都是 $n$ 阶矩阵, $r(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})=n$, 则有
$\text{A.}$ $r\left(\begin{array}{l}\boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B}\end{array}\right)=n, r(\boldsymbol{A}: \boldsymbol{B})=n$.
$\text{B.}$ $r\left(\begin{array}{l}\boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B}\end{array}\right) < n, r(\boldsymbol{A}: \boldsymbol{B})=n$.
$\text{C.}$ $r\left(\begin{array}{l}\boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B}\end{array}\right) < n, r(\boldsymbol{A}: \boldsymbol{B}) < n$.
$\text{D.}$ $r\left(\begin{array}{l}\boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B}\end{array}\right)=n, r(\boldsymbol{A}: \boldsymbol{B}) < n$.
设连续型随机变量 $X_1, X_2$ 的概率密度分别为 $f_1(x), f_2(x)$, 其分布函数分别为 $F_1(x), F_2(x)$, 记 $g_1(x)=f_1(x) F_2(x)+f_2(x) F_1(x), g_2(x)=f_1(x) F_1(x)+f_2(x) F_2(x), g_3(x)=$ $\frac{1}{2}\left[f_1(x)+f_2(x)\right], g_4(x)=\sqrt{f_1(x) f_2(x)}$, 则 $g_1(x), g_2(x), g_3(x), g_4(x)$ 这 4 个函数中一定 能作为概率密度的共有
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
设随机变量 $X, Y$ 相互独立, 且 $X \sim E(a), Y \sim E(b)(a>0, b>0, a \neq b)$, 则服从 $E(a+b)$ 的 随机变量是
$\text{A.}$ $X+Y$.
$\text{B.}$ $X Y$.
$\text{C.}$ $\max \{X, Y\}$.
$\text{D.}$ $\min \{X, Y\}$.
设 $X_1, X_2, \cdots, X_{10}$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本, $E(X)$ 与 $D(X)$ 都存在, 且 $\bar{X}=\frac{1}{10} \sum_{i=1}^{10} X_i$, 若 $E\left(X_1 \bar{X}\right)=35, D\left(X_1-\bar{X}\right)=90$, 则 $E\left(X^2\right)=$
$\text{A.}$ 100
$\text{B.}$ 125
$\text{C.}$ 150
$\text{D.}$ 175
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $f(x)=\sqrt[3]{x \sin ^2 x}(-\pi < x < \pi)$, 则 $f^{\prime}(x)=$
设 $f(x)=\int_{-x}^x \frac{\sin x t}{t} \mathrm{~d} t, x \neq 0$, 则 $\int x^2 f^{\prime}(x) \mathrm{d} x=$
已知方程 $\mathrm{e}^x=k x$ 有且仅有一个实根, 则 $k$ 的取值范围为
$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{2}+\frac{3}{2^2}+\frac{5}{2^3}+\cdots+\frac{2 n-1}{2^n}\right)=$
设 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 有基础解系 $\boldsymbol{\alpha}_1=(1,1,2,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_2=(0,-3,1,0)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{B x}=\mathbf{0}$ 有基础解系 $\boldsymbol{\beta}_1=(1$, $3,0,2)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}_2=(1,2,-1, a)^{\mathrm{T}}$, 若 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 和 $\boldsymbol{B x}=\mathbf{0}$ 没有非零公共解, 则参数 $a$ 满足条件
设随机变量 $X_1, X_2, \cdots, X_9$ 独立同分布, 其方差为 $\sigma^2(\sigma>0)$, 又设 $U=\sum_{i=1}^7 X_i, V=\sum_{i=3}^9 X_i$, 则 $U$ 与 $V$ 的相关系数 $\rho_{U V}=$
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $y=y(x)$ 是由方程 $y^3+x y+x^2-2 x+1=0$ 在点 $(1,0)$ 的某邻域内确定的可微函数, 求
$$
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\int_1^x y(t) \mathrm{d} t}{(x-1)^3}
$$
设 $f(x)$ 二阶可导, 且 $f(0)=0, f^{\prime}(0)=0$, 若 $g(x, y)=\int_0^y f(x t) \mathrm{d} t$ 满足方程
$$
\frac{\partial^2 g}{\partial x \partial y}-x y g(x, y)=x y^2 \sin x y,
$$
求 $g(x, y)$.
计算 $\iint_D \frac{1-x^2 y^3}{\left(x+\sqrt{1-y^2}\right)^2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$, 其中 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leqslant 1,-x \leqslant y \leqslant x\right\}$.
求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{4 n-3}$ 的和函数 $(x \geqslant 0)$.
设 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶可逆矩阵, $\boldsymbol{A}^*$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵, 且有 $\boldsymbol{A B A} \boldsymbol{A}^*=2 \boldsymbol{B} \boldsymbol{A}^{-1}+\boldsymbol{E}$. 试证：
(1) $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{B A}$;
(2) $\boldsymbol{B}$ 与 $\boldsymbol{A}$ 有完全相同的特征向量;
（3） $\boldsymbol{B}$ 与 $\boldsymbol{A}$ 是否相似? 请说明理由.
设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立, $X$ 的概率分布为 $P\{X=k\}=\frac{k}{3}(k=1,2), Y$ 的概率密度为 $f_Y(y)= \begin{cases}y, & 0 \leqslant y < 1, \\ 2-y, & 1 \leqslant y < 2, \text { 记 } Z=Y-X \text {. 求: } \\ 0, & \text { 其他, }\end{cases}$
(1) $P\{Z \leqslant 0 \mid X < 2\}, P\{Z \leqslant 0\}$;
(2) $Z$ 的概率密度.