单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
在下列方程中, 属于一元二次方程的是（）
$\text{A.}$ $3 x-4=0$
$\text{B.}$ $x^2-3 x=0$
$\text{C.}$ $x+3 y=2$
$\text{D.}$ $\frac{2}{x-1}=3$
下列图形中, 既是轴对称图形, 又是中心对称图形的是（）
$\text{A.}$ 
$\text{B.}$ 
$\text{C.}$ 
$\text{D.}$ 
化简 $\frac{2 a}{a^2-1}+\frac{1}{1-a}$ 的结果正确的是
$\text{A.}$ $\frac{3 a+1}{a^2-1}$
$\text{B.}$ $\frac{3 a-1}{a^2-1}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{a+1}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{a-1}$
如图, 点 $O$ 是菱形 $A B C D$ 对角线 $A C$ 的中点, 过 $O$ 作 $O H \perp A B$ 于 $H$. 若 $A B=5$, $A C=8$, 则 $O H$ 的长为 ( )
$\text{A.}$ $2$
$\text{B.}$ $2.4$
$\text{C.}$ $2.5$
$\text{D.}$ $3$
如果关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^2+2 x-1=0$ 有两个不相等的实数根, 则 $a$ 的取值范 围是
$\text{A.}$ $a>-1$
$\text{B.}$ $a \geqslant-1$
$\text{C.}$ $a \geqslant-1$ 且 $a \neq 0$
$\text{D.}$ $a>-1$ 且 $a \neq 0$
如图, 证明矩形的对角线相等. 已知: 四边形 $A B C D$ 是矩形. 求证: $A C=B D$. 以 下是排乱的证明过程: ① $\therefore A B=C D, \angle A B C=\angle D C B$; ②$\because B C=C B$;③ $\because$ 四边形 $A B C D$ 是矩形;④ $\therefore A C=D B$; ⑤$\therefore \triangle A B C \cong \triangle D C B$.
甲的证明顺序是：(3)(1)(2)(5)(4)
乙的证明顺序是: (2)(3)(1)(5) (4)
则下列说法正确的是（）
$\text{A.}$ 甲和乙都对
$\text{B.}$ 甲和乙都不对
$\text{C.}$ 甲对乙不对
$\text{D.}$ 乙对甲不对
一次函数 $y_1=k x+b$ 与 $y_2=x+a$ 的图象如图, 则下列结论: ① $k < 0$; ② $a < 0$; ③当 $x < 3$ 时, $y_1 < y_2$ 中, 正确的个数是 ( )
$\text{A.}$ 3
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ 0
不论 $x, y$ 为何实数, 代数式 $x^2+y^2+2 y-4 x+6$ 的值
$\text{A.}$ 总不小于 1
$\text{B.}$ 总不大于 1
$\text{C.}$ 总不小于 6
$\text{D.}$ 可为任何实数
如图, 将 5 个大小相同的正方形置于平面直角坐标系中, 如果顶点 $M 、 N$ 的坐标 分别为 $(-14,9) 、(-5,9)$, 则顶点 $A$ 的坐标为 ( )
$\text{A.}$ $(-3,2)$
$\text{B.}$ $(-2,3)$
$\text{C.}$ $(-2,2)$
$\text{D.}$ $(-3,3)$
如图, Rt $\triangle A B C$ 中, $A B=8, A C=6, \angle B A C=90^{\circ}, D, E$ 分别为 $A B, A C$ 的 中点, $P$ 为 $D E$ 上一点, 且满足 $\angle E A P=\angle A B P$, 则 $P E=$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ $\frac{6}{5}$
$\text{C.}$ $\frac{3}{2}$
$\text{D.}$ 2
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
如图, 两张等宽的纸条交叉叠放在一起, 若重合部分构成的四边形 $A B C D$ 中, $A B=3, A C=2$, 则四边形 $A B C D$ 的面积为
已知 $\alpha 、 \beta$ 是一元二次方程 $x^2-2021 x+2020=0$ 的两实根, 则代数式 $(\alpha-2021) (\beta-2021)=
$
如图, 在平面直角坐标系 $x O y$ 中, 点 $A 、 C 、 F$ 在坐标轴上, $E$ 是 $O A$ 的中点, 四边形 $A O C B$ 是矩形, 四边形 $B D E F$ 是正方形, 若点 $C$ 的坐标为 $(3 \sqrt{3}, 0)$, 则点 $E$ 的 坐标为
如图, 在长方形 $A B C D$ 中, $A B=4 \mathrm{~cm}, B C=3 \mathrm{~cm}$, 点 $E$ 是 $C D$ 的中点. 点 $P$ 从 点 $A$ 出发, 以 $1 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}$ 的速度沿 $A-B-C$ 匀速运动, 最终到达点 $C$. 若点 $P$ 的运动时间为 $t$ 秒时, 三角形 $A P E$ 的面积为 $4 \mathrm{~cm}^2$, 则 $t=$ 秒.
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
按要求解下列方程:
(1) $x^2-4 x+2=0$ (用公式法);
(2) $x(x-1)=2(1-x)$ (用因式分解法).
如图, $\triangle A B C$ 中, $A C$ 的垂直平分线 $M N$ 交 $A B$ 于点 $D$, 交 $A C$ 于点 $O, C E / / A B$ 交 $M N$ 于 $E$, 连接 $A E 、 C D$.
(1) 求证: $A D=C E$;
(2) 试判断四边形 $A D C E$ 的形状, 并说明理由.
阅读下面的解答过程, 求 $y^2+4 y+8$ 的最小值.
解: $y^2+4 y+8=y^2+4 y+4+4=(y+2)^2+4 \geqslant 4$,
$\because(y+2)^2 \geqslant 0$ 即 $(y+2)^2$ 的最小值为 0 ,
$\therefore y^2+4 y+8$ 的最小值为 4 .
仿照上面的解答过程,
(1) 求 $m^2+2 m+4$ 的最小值;
(2) 求 $4-x^2+2 x$ 的最大值.
关于 $x$ 的方程 $m x^2+(m+2) \mathrm{x}+\frac{m}{4}=0$ 有两个不相等的实数根.
（1）求 $m$ 的取值范围.
(2) 是否存在实数 $m$, 使方程的两个实数根的倒数和等于 2 ? 若存在, 求出 $m$ 的值; 若 不存存, 说明理由.
如图, 在菱形 $A B C D$ 中, $\angle A B C=60^{\circ}, E$ 是对角线 $A C$ 上一点. $F$ 是线段 $B C$ 延长线上一点, 且 $C F=A E$, 连接 $B E$.
(1) 发现问题 如图①, 若 $E$ 是线段 $A C$ 的中点, 连接 $E F$, 其他条件不变, 填空: 线段 $B E$ 与 $E F$ 的数 量关系是
(2) 探究问题 如图②, 若 $E$ 是线段 $A C$ 上任意一点, 连接 $E F$, 其他条件不变, 猜想线段 $B E$ 与 $E F$ 的 数量关系是什么? 请证明你的猜想;
(3) 解决问题 如图③, 若 $E$ 是线段 $A C$ 延长线上任意一点, 其他条件不变, 且 $\angle E B C=30^{\circ}, A B=1$, 请直接写出 $A F$ 的长度.
