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已知椭圆 $C$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，左，右焦点分别为 $F_1(-1,0), F_2(1,0)$
（1）求 $C$ 的方程；
（2）已知点 $M_0(1,4)$ ，证明：线段 $F_1 M_0$ 的垂直平分线与 $C$ 恰有一个公共点；
（3）设 $M$ 是坐标平面上的动点，且线段 $F_1 M$ 的垂直平分线与 $C$ 恰有一个公共点，证明 $M$ 的轨迹为圆，并求该圆的方程．
                        
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