已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^x$, 则 $(\quad)$
A. 当 $x_2>x_1$ 时, $\frac{f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)}{x_1-x_2}>0$
B. 当 $x_2>x_1>1$ 时, $x_1 f\left(x_2\right) < x_2 f\left(x_1\right)$
C. 当 $x_1 < x_2 < -1$ 时, $x_2 f\left(x_2\right) < x_1 f\left(x_1\right)$
D. 当 $a>-\frac{1}{\mathrm{e}}$ 时, 方程 $x f(x)=a$ 只有 1 个解