【建立模型】(1) 如图 1, 点 $B$ 是线段 $C D$ 上的一点, $A C \perp B C, A B \perp B E$, $E D \perp B D$, 垂足分别为 $C, B, D, A B=B E$. 求证: $\triangle A C B \cong \triangle B D E$;
【类比迁移】(2) 如图 2, 一次函数 $y=3 x+3$ 的图象与 $y$ 轴交于点 $A$ 、与 $x$ 轴交于点 $B$, 将线段 $A B$ 绕点 $B$ 逆时针旋转 $90^{\circ}$ 得到 $B C$, 直线 $A C$ 交 $x$ 轴于点 $D$.
① 求点 $C$ 的坐标;
② 求直线 $A C$ 的解析式;
【拓展延伸】(3) 如图 3, 抛物线 $y=x^2-3 x-4$ 与 $x$ 轴交于 $A, B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的左侧), 与 $y$ 轴交于 $C$ 点, 已知点 $Q(0,-1)$, 连接 $B Q$, 拋物线上是否存在点 $M$,使得 $\tan \angle M B Q=\frac{1}{2}$, 若存在, 求出点 $M$ 的横坐标.
$\therefore$ 直线 $B K$ 的解析式为 $y=-\frac{1}{13} x+\frac{4}{13}$,
联立得 $\left\{\begin{array}{l}y=-\frac{1}{13} x+\frac{4}{13} \\ y=x^2-3 x-4\end{array}\right.$,
解得: $\left\{\begin{array}{l}x_1=-\frac{14}{13} \\ y_1=\frac{66}{169}\end{array},\left\{\begin{array}{l}x_2=4 \\ y_2=0\end{array}\right.\right.$ (舍去),
$$
\therefore M\left(-\frac{14}{13}, \frac{66}{169}\right) \text {; }
$$
当点 $M$ 在 $x$ 轴下方时, 如图, 过点 $Q$ 作 $Q E \perp B Q$, 交 $B M$ 于点 $E$, 过点 $E$ 作 $E F \perp y$
轴于点 $F$,
则 $\angle Q F E=\angle B O Q=\angle B Q E=90^{\circ}$,
$$
\begin{aligned}
& \tan \angle M B Q=\frac{1}{3}, \\
& \therefore \frac{E Q}{B Q}=\tan \angle M B Q=\frac{1}{3}, \\
& \therefore E Q=\frac{1}{3} B Q=\frac{\sqrt{17}}{3}, \\
& \angle O B Q+\angle B Q O=90^{\circ}, \angle B Q O+\angle E Q F=90^{\circ}, \\
& \therefore \angle O B Q=\angle E Q F, \\
& \therefore \triangle Q E F \sim \triangle B Q O, \\
& \therefore \frac{E F}{O Q}=\frac{Q F}{O B}=\frac{E Q}{B Q}, \quad \text { 即 } \frac{E F}{1}=\frac{Q F}{4}=\frac{1}{3}, \\
& \therefore E F=\frac{1}{3}, \quad Q F=\frac{4}{3}, \\
& \therefore O F=O Q+Q F=1+\frac{4}{3}=\frac{7}{3},
\end{aligned}
$$
$\therefore E\left(\frac{1}{3},-\frac{7}{3}\right)$;
设直线 $B M$ 的解析式为 $y=m^{\prime} x+n^{\prime}$, 则 $\left\{\begin{array}{l}4 m^{\prime}+n^{\prime}=0 \\ \frac{1}{3} m^{\prime}+n^{\prime}=-\frac{7}{3}\end{array}\right.$,
解得: $\left\{\begin{array}{l}m^{\prime}=\frac{7}{11} \\ n^{\prime}=-\frac{28}{11}\end{array}\right.$,
$\therefore$ 直线 $B M$ 的解析式为 $y=\frac{7}{11} x-\frac{28}{11}$,
联立, 得 $\left\{\begin{array}{l}y=\frac{7}{11} x-\frac{28}{11} \\ y=x^2-3 x-4\end{array}\right.$,
解得: $\left\{\begin{array}{l}x_1=4 \\ y_1=0\end{array}\right.$ (舍去), $\left\{\begin{array}{l}x_2=-\frac{4}{11} \\ y_2=-\frac{336}{121}\end{array}\right.$,
$$
\therefore E\left(-\frac{4}{11},-\frac{336}{121}\right) \text {; }
$$
综上所述, 抛物线上存在点 $M$, 使得 $\tan \angle M B Q=\frac{1}{3}$, 点 $M$ 的横坐标为 $-\frac{14}{13}$ 或 $-\frac{4}{11}$.
【类比迁移】(2) 如图 2, 一次函数 $y=3 x+3$ 的图象与 $y$ 轴交于点 $A$ 、与 $x$ 轴交于点 $B$, 将线段 $A B$ 绕点 $B$ 逆时针旋转 $90^{\circ}$ 得到 $B C$, 直线 $A C$ 交 $x$ 轴于点 $D$.
① 求点 $C$ 的坐标;
② 求直线 $A C$ 的解析式;
【拓展延伸】(3) 如图 3, 抛物线 $y=x^2-3 x-4$ 与 $x$ 轴交于 $A, B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的左侧), 与 $y$ 轴交于 $C$ 点, 已知点 $Q(0,-1)$, 连接 $B Q$, 拋物线上是否存在点 $M$,使得 $\tan \angle M B Q=\frac{1}{2}$, 若存在, 求出点 $M$ 的横坐标.
$\therefore$ 直线 $B K$ 的解析式为 $y=-\frac{1}{13} x+\frac{4}{13}$,
联立得 $\left\{\begin{array}{l}y=-\frac{1}{13} x+\frac{4}{13} \\ y=x^2-3 x-4\end{array}\right.$,
解得: $\left\{\begin{array}{l}x_1=-\frac{14}{13} \\ y_1=\frac{66}{169}\end{array},\left\{\begin{array}{l}x_2=4 \\ y_2=0\end{array}\right.\right.$ (舍去),
$$
\therefore M\left(-\frac{14}{13}, \frac{66}{169}\right) \text {; }
$$
当点 $M$ 在 $x$ 轴下方时, 如图, 过点 $Q$ 作 $Q E \perp B Q$, 交 $B M$ 于点 $E$, 过点 $E$ 作 $E F \perp y$
轴于点 $F$,
则 $\angle Q F E=\angle B O Q=\angle B Q E=90^{\circ}$,
$$
\begin{aligned}
& \tan \angle M B Q=\frac{1}{3}, \\
& \therefore \frac{E Q}{B Q}=\tan \angle M B Q=\frac{1}{3}, \\
& \therefore E Q=\frac{1}{3} B Q=\frac{\sqrt{17}}{3}, \\
& \angle O B Q+\angle B Q O=90^{\circ}, \angle B Q O+\angle E Q F=90^{\circ}, \\
& \therefore \angle O B Q=\angle E Q F, \\
& \therefore \triangle Q E F \sim \triangle B Q O, \\
& \therefore \frac{E F}{O Q}=\frac{Q F}{O B}=\frac{E Q}{B Q}, \quad \text { 即 } \frac{E F}{1}=\frac{Q F}{4}=\frac{1}{3}, \\
& \therefore E F=\frac{1}{3}, \quad Q F=\frac{4}{3}, \\
& \therefore O F=O Q+Q F=1+\frac{4}{3}=\frac{7}{3},
\end{aligned}
$$
$\therefore E\left(\frac{1}{3},-\frac{7}{3}\right)$;
设直线 $B M$ 的解析式为 $y=m^{\prime} x+n^{\prime}$, 则 $\left\{\begin{array}{l}4 m^{\prime}+n^{\prime}=0 \\ \frac{1}{3} m^{\prime}+n^{\prime}=-\frac{7}{3}\end{array}\right.$,
解得: $\left\{\begin{array}{l}m^{\prime}=\frac{7}{11} \\ n^{\prime}=-\frac{28}{11}\end{array}\right.$,
$\therefore$ 直线 $B M$ 的解析式为 $y=\frac{7}{11} x-\frac{28}{11}$,
联立, 得 $\left\{\begin{array}{l}y=\frac{7}{11} x-\frac{28}{11} \\ y=x^2-3 x-4\end{array}\right.$,
解得: $\left\{\begin{array}{l}x_1=4 \\ y_1=0\end{array}\right.$ (舍去), $\left\{\begin{array}{l}x_2=-\frac{4}{11} \\ y_2=-\frac{336}{121}\end{array}\right.$,
$$
\therefore E\left(-\frac{4}{11},-\frac{336}{121}\right) \text {; }
$$
综上所述, 抛物线上存在点 $M$, 使得 $\tan \angle M B Q=\frac{1}{3}$, 点 $M$ 的横坐标为 $-\frac{14}{13}$ 或 $-\frac{4}{11}$.