已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$, 当 $n \in \mathbf{N}^*$ 时, $S_n+2=2 a_n$;数列 $\left\{b_n\right\}$ 中, $b_1=1$. 直线 $x-y+1=0$ 经过点 $P\left(b_n, b_{n+1}\right)$.
(1) 求数列 $\left\{a_n\right\} 、\left\{b_n\right\}$ 的通项公式 $a_n$ 和 $b_n$;
(2) 设 $c_n=a_n b_n$, 求数列 $\left\{c_n\right\}$ 前 $n$ 项和 $T_n$, 并求 $T_n < 2022$ 的最大整数 $n$.