如图1，已知 $A B$ 为 $\odot O$ 的直径，点 $C$ 为 $A B$ 的中点，点 $D$ 在 $\widehat{B C}$ 上，连接 $B D 、 C D 、 B C 、 A D$ 、 $B C$ 与 $A D$ 相交于点 $E$.

(1) 求证: $\angle C+\angle C B D=\angle C B A$.
(2) 如图 2 ，过点 $C$ 作 $C D$ 的垂线，分别与 $A D ， A B ， \odot O$ 相交于点 $F 、 G 、 H$ ，求证: $A F=B D$.
(3) 如图3，在 (2) 的条件下，连接 $B F$ ，若 $B F=B C$ ，求 $\tan \angle B C H$.