已知函数 $f(x)=\sin \omega x+\cos \omega x(\omega>0)$ 图象的相邻两条对称轴之间的距离为 $\frac{\pi}{2}$, 则（）
$\text{A.}$ $f(x)$ 的图象关于点 $\left(\frac{3 \pi}{8}, 0\right)$ 对称
$\text{B.}$ 将 $f(x)$ 的图象向左平移 $\frac{\pi}{8}$ 个单位长度, 得到的函数图象关于 $y$ 轴对称
$\text{C.}$ $f(x)$ 在 $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上的值域为 $[-1,1]$
$\text{D.}$ $f(x)$ 在 $\left[-\frac{\pi}{4}, 0\right]$ 上单调递增