已知函数 $f(x)=\frac{2^x+a}{2^x+1}(a \in \mathrm{R})$ 为 R 上的奇函数, 设函数 $g(x)=\frac{1}{2} x+b, b \in \mathrm{R}$, 若对任意的 $x_1 \in[0,1]$,总存在 $x_2 \in[0,1]$, 使得 $g\left(x_1\right)=3 f\left(x_2\right)$ 成立, 则实数 $b$ 的取值可能为 ( )
$\text{A.}$ $\left[0, \frac{1}{2}\right)$
$\text{B.}$ $\left(0, \frac{1}{2}\right)$
$\text{C.}$ $\left[0, \frac{1}{2}\right]$
$\text{D.}$ $\left[0, \frac{1}{2}\right)$