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我们把各边与椭圆

E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)

的对称轴垂直或平行的

E

的内接四边形叫做

E

的内接矩形. 如图, 已知四边形

P Q R S

是

E

的一个边长为 1 的内接正方形,

P S, Q R

分别与

x

轴交于

F_{1}, F_{2}

, 且

F_{1}, F_{2}

为

E

的两个焦点.
(1) 求

E

的标准方程;
(2) 设

A_{i} (i = 1, 2, \dots, 100)

是四边形

P Q R S

内部的 100 个不同的点, 线段

P Q, R S

与

y

轴分别交于

E_{1}

,

E_{2}

, 记

d_{k} = \sum_{i = 1}^{100} | E_{k} A_{i} |

, 其中

k = 1, 2

, 证明:

d_{1}, d_{2}

中至少有一个小于

25 (1 + \sqrt{5})

.

A.

B.

C.

D.

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答案与解析：

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