设总体 $X$ 服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^2\right)(\sigma>0)$ ，从该总体中抽取简单随机样本 $X_1, X_2, \cdots, X_{2 n}(n \geq 2)$ ，其样本均值为 $\bar{X}=\frac{1}{2 n} \sum_{i=1}^{2 n} X_i$ ，求统计量 $Y=\sum_{i=1}^n\left(X_i+X_{n+i}-2 \bar{X}\right)^2$的数学期望 $E(Y)$.
$\text{A.}$
$\text{B.}$
$\text{C.}$
$\text{D.}$